为了确定一个函数的凹度，我们需要检查它的二阶导数。

首先，我们将应用乘积法则对函数求导。

然后对一阶导数求导。还是用乘法法则。

当函数的二阶导数为正时，函数就是向上凹的。因此，我们必须找到f " (x)为正的区间。

只有当．但是，要记住f(x)的定义域只包括x的正值，因为lnx只对x > 0有定义。

答案是{}。

为了确定函数上凹的区间，我们必须找到函数的二阶导数为正的区间。

首先，我们必须求出函数的二阶导数:

利用下列规则求出导数:

，，，

接下来，我们找到给定区间上二阶导数为零的值:

我们现在使用这些值作为检查二阶导数符号的区间的边界:

注意，在区间的边界上，二阶导数既不是正的也不是负的。

通过将给定区间上的任意值代入二阶导数函数来计算符号，我们发现在第一个区间上，二阶导数为负，而在第二个区间上，二阶导数为正。因此，函数在第二个区间上凹，．

判断g(w)是上凹还是下凹．你怎么知道?

为了检验是否凹，我们需要知道函数在给定值处二阶导数的符号。

我们从求一阶导数开始。为此，我们需要回顾以下几点:

这两条规则告诉我们如何推导由多项式和指数项组成的函数。

应用这些规则得到以下结果。

现在，再次求导得到二阶导。

现在，我们差不多到了，但我们需要找到g"(-3)

当w=-3时，二阶导数为正。这意味着原始函数在这一点上是凹的。

向上凹，因为

函数是向下凹的，所以我们计算看看哪里是负的。我们有:

(抛物线，开口向上)

去寻找是负的，我们首先通过设置来找到它的零点：

，

所以当或，我们的结论是是负的(是凹下来的)他们之间。也就是说,．唯一的答案选择完全在这个区间内(不是外部或端点)是

．

尽管一阶导数()是在，没有最大值或最小值，因为函数在两边都是递增的(导数在两边都是正的)。然而，函数正在改变它的凹度(从负到正)．因为二阶导数()也是在，它从负到正。洞和渐近线是不相关的。当二阶导数在一个特定点附近改变符号时，我们称之为拐点。拐点描述的是改变函数凹度的点。

因为函数在，，自从在x轴以下，．

此外，存在一个拐点，即函数的凹面的变化。

因此在，．

因此，正确的答案是．

拐点只有在二阶导数为零或未定义时才会出现。这里有

．

因此，可能的拐点出现在而且．然而，要有一个拐点，我们必须检查在点的每一边的二阶导数的符号是不同的。这里有

．

因此，两者都是拐点

可能的拐点发生在．这发生在三个值处，．但是，拐点是一个标志临界值的两边必须不同。因此,只有都是临界点。

拐点是函数的图形(或图像)改变凹度的地方。为了从代数上求出这个，我们想要找出函数的二阶导数在哪里改变符号，从负到正，或者相反。我们求出给定函数的二阶导数

用幂法则求一阶导数

是,

二阶导数是

然后求出二阶导数的值．当．

然后我们看一下二阶导数在这一点上是否改变符号。从图形上和代数上，我们可以看到这个函数的确改变了符号，只有在，这就是我们的拐点。

拐点是图的凹度发生变化的点。图的拐点是通过取图方程的二阶导数，使其等于零，然后求解．

要对这个方程求导，我们必须使用幂法则，

．

我们还必须记住常数的导数是0。

利用幂法则对图方程求一阶导数后，方程就变成

．

在这个问题中，图方程的二阶导数是把这个方程分解出来．

解当方程设为零时，拐点位于．