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AP微积分BC:点上的导数

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例子问题

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例子问题1:瞬时变化率，平均变化率和线性近似

计算导数 f(x)=4x^2-x+2 在点 x=1 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

解决这个问题有两个步骤。

首先，求导 f(x) ．

然后，用给定的点替换x的值。

例如,如果 x=a ，那么我们就在寻找的值 f'(x=a) 的导数 f(x) 在 x=a ．

f(x)=4x^2-x+2

计算 f'(x)

这里需要的派生规则:

常数的导数是0。例如, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} 5 = 0$
对一项求导，或使用幂法则，可以通过以下方法实现: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} t^n = n * t^{n-1}$

f'(x)=8x-1

然后，代入x的值并求值

f'(x=1)=8*1-1 = 7

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例子问题2:瞬时变化率，平均变化率和线性近似

求一阶导数

f(x)=2e^x 而且 x=0 ．

可能的答案:

f'(0)=0

f'(0)=e

f'(0)=2

f'(0)=1

正确答案:

f'(0)=2

解释：

首先我们必须求出函数的一阶导数。

因为指数函数的导数就是指数函数本身

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^x]=e^x$

求导是一个线性运算，

我们有

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[f(x)]$

$=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[2e^x]$

$=2\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^x]$

=2e^x

现在设置 x=0

f'(0)=2e^0=2*1=2

因此

f'(0)=2

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示例问题3:瞬时变化率，平均变化率和线性近似

求出x=3时f(x)的变化率。

f(x)=3e^x-x^3+12x^2

可能的答案:

72.41

123.23

-27.2

105.26

正确答案:

105.26

解释：

求出x=3时f(x)的变化率。

f(x)=3e^x-x^3+12x^2

为了求变化率，我们需要求导数。

首先，回顾以下规则:

$1) \frac{d}{dx}e^x=e^x$

$2)\frac{d}{dx} x^n =nx^{n-1}$

我们可以对函数应用这两个求导规则来求一阶导数。然后把x代入3，解出来。

f(x)=3e^x-x^3+12x^2

f'(x)=3e^x-3x^2+24x

f'(3)=3e^3-3(3)^2+24(3)=105.26

所以答案是105.26

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例子问题1:微分定义为差商的极限

$g(x) = \sec \frac{\pi}{x}$

评估 g '(6) ．

可能的答案:

$- \frac{\pi}{9}$

$- \frac{\pi}{54}$

$- \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

$- \frac{\pi \sqrt{3}}{27}$

$- \frac{\pi \sqrt{3}}{54}$

正确答案:

$- \frac{\pi}{54}$

解释：

找到 g'(x) ,替代 $u =\frac{ \pi }{x} = \pi x ^{-1}$ 用链式法则

$g(x) = \sec \left (\frac{\pi}{x} \right )$

$g'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec\frac{\pi}{x}$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sec u$

$= \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}u} \sec u$

$= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \pi x^{-1} \cdot \frac{\mathrm{d} } {\mathrm{d}u} \sec u$

$= \pi \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} \cdot \tan u \sec u$

$= - \pi x^{-2} \cdot \tan \frac{\pi}{x} \sec \frac{\pi}{x}$

$= - \frac{\pi}{x^{2}} \tan \frac{\pi}{x} \sec \frac{\pi}{x}$

所以 $g '(x)= - \frac{\pi}{x^{2}}\tan \frac{\pi}{x} \sec \frac{\pi}{x}$

而且

$g '(6)= - \frac{\pi}{6^{2}}\tan \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{6}$

$= - \frac{\pi}{36} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= - \frac{\pi}{36} \cdot \frac{2\cdot 3}{9} = - \frac{\pi}{54}$

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例子问题1:A点导数

函数图像的切线方程是什么

$f(x)= 1+\frac{4}{x}$

在点 (2, 3) ?

可能的答案:

y = x+1

y = - x+5

y = 3

y =2 x-1

y =4 x-5

正确答案:

y = - x+5

解释：

切线的斜率 $f(x)= 1+\frac{4}{x}$ 在 (2, 3) 是

f'(2) ，可计算如下:

$f(x)= 1+\frac{4}{x} = 1 + 4x^{-1}$

$f'(x) = (-1) 4x^{-1-1}$

$f'(x) = - \frac{4}{x^{2}}$

$f'(2) = - \frac{4}{2^{2}}= - 1$

有斜率的直线方程通过 (2, 3) 是:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

y - 3 = -1 (x-2)

y - 3 = - x+2

y = - x+5

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示例问题3:微分定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{6}$

在点 (7, -1) ?

可能的答案:

$y = - \frac {\pi \sqrt{2 }}{4} x+ \frac {7 \pi \sqrt{2 }}{4} -1$

$y = - \frac {\pi }{6} x+ \frac {7 \pi }{6} -1$

$y = \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x - \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

$y = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+ \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

$y = \frac {\pi \sqrt{2 }}{4} x- \frac {7 \pi \sqrt{2 }}{4} -1$

正确答案:

$y = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+ \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

解释：

切线的斜率 $f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{6}$ 在 (7, -1) 是

f'(7) ，可计算如下:

$f(x) = 2 \sin \frac{\pi x}{6} = 2 \sin \frac{\pi }{6}x$

$f'(x) = 2 \cdot\frac {\pi }{6} \cos \frac{\pi }{6}x$

$f'(x) = \frac {\pi }{3} \cos \frac{\pi }{6}x$

$f'(7) = \frac {\pi }{3} \cos \frac{7 \pi }{6}$

$= \frac {\pi }{3} \left ( - \frac{\sqrt{3}}{2}\right ) = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6}$ 直线的斜率。

有斜率的直线方程 $- \frac {\pi \sqrt{3 }}{6}$ 通过 (7, -1) 是:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

$y - (-1) = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} (x-7)$

$y +1 = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+\left ( \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} \right ) 7$

$y = - \frac {\pi \sqrt{3 }}{6} x+ \frac {7 \pi \sqrt{3 }}{6} -1$

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示例问题4:微分定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x)= \frac{8}{x}$

在 (-2,-4) ?

可能的答案:

y = -2 x-8

y = -8 x-20

y = 2 x

$y = \frac{1}{2}x-3$

$y = - \frac{1}{2}x-5$

正确答案:

y = -2 x-8

解释：

切线的斜率 $f(x)= \frac{8}{x}$ 在 (-2,-4) 是

f'(-2) ，可计算如下:

$f(x)= \frac{8}{x} = 8x^{-1}$

$f'(x)= 8 \cdot\left ( -1 x^{-2} \right )$

$f'(x)= -\frac{8}{x^{ 2}}$

$f'(-2)= -\frac{8}{(-2)^{ 2}} = -\frac{8}{4} = -2$ 直线的斜率。

有斜率的直线方程通过 (-2,-4) 是:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

y - (-4) = -2 [x- (-2)]

y +4 = -2 (x+2)

y +4 = -2 x-4

y = -2 x-8

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示例问题5:微分定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x)= \log (x+3)$

在点 (7,1) ?

可能的答案:

y = 2x - 13

$y = \frac{x -7 + 10 \ln 10}{10 \ln 10}$

$y = \frac{x + 3 }{10 }$

y = x-6

$y = \frac{x -7 + e \ln 10}{e \ln 10}$

正确答案:

$y = \frac{x -7 + 10 \ln 10}{10 \ln 10}$

解释：

切线的斜率 $f(x)= \log (x+3)$ 在点 (7,1) 是 f'(7) ，可计算如下:

$f(x)= \log (x+3)$

$f(x)=\frac{ \ln (x+3) }{\ln 10}$

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \frac{ \ln (x+3) }{\ln 10}$

$f'(x)= \frac{1 }{\ln 10} \cdot \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\ln (x+3)$

$f'(x)= \frac{1 }{\ln 10} \cdot \frac{1}{x+3}$

$f'(7)= \frac{1 }{\ln 10} \cdot \frac{1}{7+3}$

$f'(7)= \frac{1 }{10 \ln 10}$

有这个斜率的直线 (7,1) 方程:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

$y - 1= \frac{1 }{10 \ln 10} (x-7)$

$y - 1= \frac{1 }{10 \ln 10} \cdot x- \frac{1 }{10 \ln 10} \cdot 7$ $y = \frac{x }{10 \ln 10} - \frac{7 }{10 \ln 10} +1$

$y = \frac{x -7 + 10 \ln 10}{10 \ln 10}$

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例子问题1:微分定义为差商的极限

函数图像的切线方程是什么

$f(x) = x^{3} + x - 17$

在点 (3, 13) ?

可能的答案:

y = 26 x- 65

y = 11x -20

y = 27 x- 68

y = 10x -17

y = 28 x- 71

正确答案:

y = 28 x- 71

解释：

切线的斜率 $f(x) = x^{3} + x - 17$ 在点 (3, 13) 是 f'(3) ，可计算如下:

$f(x) = x^{3} + x - 17$

$f'(x) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( x^{3} + x - 17 \right )$

$f'(x) = 3x^{2} + 1$

$f'(3) = 3\cdot 3^{2} + 1 = 28$

斜率为28的直线 (3, 13) 方程:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

y -13= 28 (x-3)

$y -13= 28 x- 28 \cdot 3$

y -13= 28 x- 84

y = 28 x- 71

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例子问题1:A点导数

给定的函数 y=log_e(x)+5x 求该点的斜率 (10,51) ．

可能的答案:

$\frac{51}{10}$

斜率无法确定。

正确答案:

$\frac{51}{10}$

解释：

求函数在某一点处的斜率，对函数求导。

y=log_e(x)+5x

的导数 log_a(x) 是 $\frac{1}{x\:ln(a)}$ ．

因此导数变成，

$\frac{1}{x\:ln(e)}+5=\frac{1}{x}+5$ 自 ln(e)=1 ．

现在我们代入给定的点来求该点的斜率。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} +5 = \frac{1}{10}+5 =\frac{51}{10}$

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