直角三角形有长边而且它们的长度都随着时间的推移而增加，比如:

求出这个角的速率相反随时间变化。

a)首先我们需要写出角度的表达式的函数．因为角是这条边的对边我们知道正切很简单．求正切的倒数:

现在我们需要对它求导．

回想一下，正切函数的一般导数是

把这个应用到for函数中，并记住链式法则，得到:

为了确定球形气泡表面积的变化率，我们必须把它和我们知道的体积变化率联系起来。

球体的体积由下面给出:

体积的变化率由对时间的导数得到:

导数是用以下规则找到的:

，

我们现在必须求出指定半径处半径的变化率，这样我们以后就可以求出表面积的变化率:

接下来，我们必须找到球面的表面积和表面积变化率，方法和上面一样:

将给定半径处已知的表面积变化率代入，将半径代入表面积变化率函数，就得到

为了求出直径的变化率，我们必须把直径和我们知道的表面积的变化率联系起来。

披萨面团上侧面的表面积由

那么，通过对函数对时间求导，就可以得到变化率:

求出半径在给定半径处的变化率，我们得到

英寸/秒

现在，我们把直径和披萨面团的半径联系起来:

对两边对时间求导，我们得到

代入给定半径处已知的半径变化率，我们得到

英寸/秒

我们可以直接用直径来表示表面积公式，但是我们使用的方法更适用于相关变化率不那么容易处理的问题。

为了确定给定半径处的周长变化率，我们必须把周长变化率和我们知道的体积变化率联系起来。

从球形气球的体积方程开始，

我们对函数对时间求导，得到体积的变化率

导数是用以下规则找到的:

，

当对半径对时间求导时要用到链式法则，因为我们知道它是时间的函数。

解用我们已知的在给定的半径处，我们得到

现在，我们用这个变化率来计算圆周的变化率，这个变化率是通过对圆周对时间求导得到的:

通过代入已知的半径变化率来求解圆周的变化率，我们得到

为了确定给定直角三角形的对角与底角的变化率，我们必须把它与三角形在一定面积时底角的变化率联系起来。

首先，我们必须在给定的区域内确定直角三角形的底边长度:

现在，我们必须找出底的对角与底的长度和高度之间的关系，即角的正切:

为了计算角度的变化率，我们对三角形两边对时间求导，记住三角形的底与时间有关，而高度是不变的:

我们知道底边的变化率，也能求出三角形两边的夹角

把这个和其他已知的信息代入然后求出与底相邻的角的变化率，我们得到

弧度每分钟

要求汽车的加速度，对的二阶导数．

,

．

汽车的位置在则由:

这是一个相关比率的问题。

由于这个问题给出了一个轨道的时间，我们可以找到这个点的角速度。角速度就是粒子在一秒内走了多少弧度。我们通过除以一圈的弧度，，当它运行一圈所需的时间是8秒。

这就得到了角对时间的变化量，．

现在我们需要把角度的位置，．回想一下,

，其中r为半径。

由于半径的单位是1，我们可以把这个方程写成

．

现在我们对两边求导数时间，使用隐函数微分。记住，链式法则适用于任何非链式法则的变量．这给了,

．

现在我们有了一个公式，它与粒子在某一时刻的水平速度有关，，与正x轴上方的角度和同一时刻的角速度。要求出x坐标的变化速度当的角度,是正x轴上的弧度。我们代入为．然而，我们也需要知道．幸运的是，我们已经找到了。它是角速度，弧度/秒。

输入这些信息，我们得到

这就是答案。负的是有意义的，因为这个点是逆时针运动的。因此，当角度为时，它向左移动弧度。

这是一个相关比率的问题。梯子靠在建筑物的一边形成一个直角三角形，梯子的斜边是10英尺。毕达哥拉斯定理,把三角形的三条边相互联系起来。让从梯子顶端到地面的高度。让就是从梯子底部到大楼的距离。因为10是斜边，我们有下面的方程。

把右边化简

自而且是变量，我们要等到求导之后再代入值。

问题是站在梯子顶端的人下落的速度有多快当梯子的基座距离建筑物6英尺，并以2英尺/秒的速度滑动。这两个值,而且，只发生在时间的某个瞬间。我们会找到方程在这个时间点的导数。

用隐式微分法求出对时间的导数，我们得到

我们只关心这一瞬间而且．我们需要找出梯子顶端，也就是这个人，下落的速度。我们要解出．但是，我们需要知道是什么就是在这一瞬间为了找到答案。幸运的是，勾股定理适用于所有时间点，所以我们可以用它来求这个特定的时刻．

因为我们处理的是物理距离，我们只用正8。

把所有的信息代入导数方程得到

负的是有道理的，因为这个人在下降，所以高度在变小。因此我们的答案是

为了求出行进的总距离，速度函数必须积分来小时:

最后，问题是问车离家有多远。离家三英里的时候,所以在，它将是:

英里从家里。