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AP微积分AB:被解释为瞬时变化率的导数

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例子问题

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例子问题1:新概念

计算以下极限:

$\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1-cos2x}{sinx})$

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

当趋于0时都 sinx 而且 (1-cos2x) 将方法．因此，这里可以应用洛必达法则。对分子和分母求导，再求极限

$\lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1-cos2x}{sinx})= \lim_{x\rightarrow 0} (\frac{2sin2x}{cosx})=\frac{0}{1}=0$

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例子问题1:导数解释为瞬时变化率

求函数的瞬时变化率，

y = 2x^3 - x-4

在点 (-1,-7) ．

可能的答案:

712

293

正确答案:

解释：

求函数的瞬时变化率，

y = 2x^3 - x-4

在点 (-1,-7) ．

1）首先计算函数的导数，因为这将给出函数的瞬时变化率作为的函数．

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2x^3-x-4)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2x^3)-\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(4)$

$\frac{dy}{dx}= 6x^2-1$

2）现在求导数的值 x = -1 ，

$\frac{dy}{dx}_{|x=-1}= 6(-1)^2-1 = 5$

因此,函数的瞬时变化率是多少

y = 2x^3 - x-4 在点 (-1,-7) ．

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示例问题3:导数解释为瞬时变化率

粒子沿x轴沿直线运动，具有位置函数 $x(t) = t+\sin(t)$ ．粒子时刻位置的瞬时变化率是多少 $\pi$ 秒?

可能的答案:

$\pi+1$

$\pi$

$\pi-1$

正确答案:

解释：

求粒子时刻的瞬时变化率 $t=\pi$ 的导数 x(t) 和塞 $\pi$ 进去。

$x'(t) :=v(t) = 1+\cos(t)$ ．

和

$v(\pi) = 1+\cos(\pi) = 1+-1 = 0$ ．

因此粒子的瞬时位置变化率(或称“速度”) $t=\pi$ 是．(在那一刻，粒子没有运动。)

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问题#691:衍生品

求出函数值，以及函数的瞬时变化率 $g(x)=x\sin(x)$ 对应于的以下值

$1)\: \: \: \: \: \: \: x =\frac{\pi}{2}$

$2)\: \: \: \: \: \: \: x =\frac{\pi}{4}$

$3)\: \: \: \: \: \: \: x =\pi$

可能的答案:

B2wrng4

Fixedcorrectanswer

B2wrng3

B2wrng4

正确答案:

Fixedcorrectanswer

解释：

求出函数的瞬时变化率 $g(x)=x\sin(x)$ 对应于的以下值

$1)\: \: \: \: \: \: \: x =\frac{\pi}{2}$

$2)\: \: \: \: \: \: \: x =\frac{\pi}{4}$

$3)\: \: \: \: \: \: \: x =\pi$

求函数的每一个值

$g\left(\frac{\pi}{2} \right )=\frac{\pi}{2}sin\left(\frac{\pi}{2} \right )=\frac{\pi}{2}$

$g\left(\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\pi}{4}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi\sqrt{2}}{8}$

$g(\pi)=\pi \sin(\pi)=0$

任何一点的瞬时变化率 (x, g(x)) 由这一点的导数给出。首先计算函数的导数:

$g(x)=x\sin(x)$

应用乘积法则:

$g'(x)=x\frac{d}{dx}\sin(x)+\sin(x)\frac{d}{dx}(x)$

$= x\cos(x)+\sin(x)$

因此,

$g'(x)=x\cos(x)+\sin(x)$

现在求每个给定值的导数：

$1)\: \: \: \: \: \: \: x =\frac{\pi}{2}\: \: \: \:\rightarrow\: \: \: \:g'\left(\frac{\pi}{2} \right )\: \: =\: \: \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} \right )+\sin\left(\frac{\pi}{2} \right )\: \:=\:1$

$2)\: \: \: \: \: \: \: x =\frac{\pi}{4}\: \: \: \:\rightarrow\: \: \: \:g'\left(\frac{\pi}{4} \right )\: \: =\: \: \frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4} \right )+\sin\left(\frac{\pi}{4} \right )\: \:=\:\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{8}(4+\pi)$

$3)\: \: \: \: \: \: \: x =\pi\: \: \: \:\rightarrow\: \: \: \:g'(\pi)\: \: =\: \: \pi\cos(\pi) +\sin(\pi) \: \:=\:\pi$

因此，函数的瞬时变化率 g(x) 对应的值是:

Fixedcorrectanswer

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问题#692:衍生品

已知v(t)是粒子的速度，求t=3时粒子的加速度。

v(t)=3t^2+6e^x-15t

可能的答案:

提供的信息不够

123.5

12.65

正确答案:

123.5

解释：

已知v(t)是粒子的速度，求t=3时粒子的加速度。

v(t)=3t^2+6e^x-15t

已知速度，要求出加速度。第一步是求导数。

v(t)=3t^2+6e^x-15t

对于第一项和第三项，我们可以使用标准幂法则，但是对于第二项，我们需要记住一些别的东西。也就是它的导数 e^x 仅仅是 e^x

考虑到这一点，我们来求v'(t)

v(t)=3t^2+6e^x-15t

v'(t)=6t+6e^x-15

现在，对于最后的推力，我们需要找出t=3时的加速度。我们把t代入3，然后化简。

v'(t)=6(3)+6e^3-15=18+120.5-15=123.5

所以答案是123.5

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问题#693:衍生品

$\begin{align*}&\text{The position of a particle at a given time is given by the function:}\\&p(t)=6t - sin(\frac{(5\cdot \pi t)}{2}) + 5\\&\text{What is its velocity at time }t=6\text{?}\end{align*}$

可能的答案:

6.83

13.85

正确答案:

13.85

解释：

$\begin{align*}&\text{Velocity is the time rate of change of position. In lay terms,}\\&\text{it is an instantaneous measure of speed and direction. However,}\\&\text{going back to that first definition, note that it is a rate,}\\&\text{and whenever the term rate is used, derivatives should come}\\&\text{to mind. The rate of change of position with respect to time}\\&\text{is the derivative of position with respect to time:}\\&v(t)=\frac{dp(t)}{dt}\\&\text{Taking the derivative of our position function }6t - sin(\frac{(5\cdot \pi t)}{2}) + 5\\&\text{We find the velocity function: }6 -\frac{ (5\cdot \pi cos(\frac{(5\cdot \pi t)}{2}))}{2}\\&\text{Plugging in values we then get:}\\&v(6)=6 -\frac{ (5\cdot \pi cos(\frac{(5\cdot \pi (6))}{2}))}{2}\\&v(6)=13.85\end{align*}$

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例子问题2:导数解释为瞬时变化率

$\begin{align*}&\text{The position of a particle at a given time is given by the function:}\\&p(t)=- 3t - cos(5\cdot \pi t) - sin(\frac{(7\cdot \pi t)}{2}) - 5\\&\text{What is its velocity at time }t=3\text{?}\end{align*}$

可能的答案:

-4.67

-2.67

-125.84

正确答案:

解释：

$\begin{align*}&\text{Velocity is the time rate of change of position. In lay terms,}\\&\text{it is an instantaneous measure of speed and direction. However,}\\&\text{going back to that first definition, note that it is a rate,}\\&\text{and whenever the term rate is used, derivatives should come}\\&\text{to mind. The rate of change of position with respect to time}\\&\text{is the derivative of position with respect to time:}\\&v(t)=\frac{dp(t)}{dt}\\&\text{Taking the derivative of our position function, }- 3t - cos(5\cdot \pi t) - sin(\frac{(7\cdot \pi t)}{2}) - 5\\&\text{We find the velocity function: }5\cdot \pi sin(5\cdot \pi t) -\frac{ (7\cdot \pi cos(\frac{(7\cdot \pi t)}{2}))}{2}- 3\\&\text{Plugging in our value of time we then get:}\\&v(3)=5\cdot \pi sin(5\cdot \pi (3)) -\frac{ (7\cdot \pi cos(\frac{(7\cdot \pi (3))}{2}))}{2}- 3\\&v(3)=-3\end{align*}$

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例子问题51:导数的概念

$\begin{align*}&\text{The position of a particle at a given time is given by the function:}\\&p(t)=cos(\frac{(9\cdot \pi t)}{2}) - 2t + cos(\frac{(17\cdot \pi t)}{2}) - 1\\&\text{What is its velocity at time }t=1\text{?}\end{align*}$

可能的答案:

-42.84

正确答案:

-42.84

解释：

$\begin{align*}&\text{Velocity is the time rate of change of position. In lay terms,}\\&\text{it is an instantaneous measure of speed and direction. However,}\\&\text{going back to that first definition, note that it is a rate,}\\&\text{and whenever the term rate is used, derivatives should come}\\&\text{to mind. The rate of change of position with respect to time}\\&\text{is the derivative of position with respect to time:}\\&v(t)=\frac{dp(t)}{dt}\\&\text{Taking the derivative of our position function, }cos(\frac{(9\cdot \pi t)}{2}) - 2t + cos(\frac{(17\cdot \pi t)}{2}) - 1\\&\text{We find the velocity function: }-\frac{ (9\cdot \pi sin(\frac{(9\cdot \pi t)}{2}))}{2}-\frac{ (17\cdot \pi sin(\frac{(17\cdot \pi t)}{2}))}{2}- 2\\&\text{Plugging in our value of time we then get:}\\&v(1)=-\frac{ (9\cdot \pi sin(\frac{(9\cdot \pi (1))}{2}))}{2}-\frac{ (17\cdot \pi sin(\frac{(17\cdot \pi (1))}{2}))}{2}- 2\\&v(1)=-42.84\end{align*}$

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例子问题1:导数解释为瞬时变化率

$\begin{align*}&\text{At any given time, a particle has the position :}\\&p(t)=6t - cos(\frac{(13\cdot \pi t)}{2}) + 1\\&\text{Calculate its velocity at time }t=7\end{align*}$

可能的答案:

6.14

-6.14

-14.42

正确答案:

-14.42

解释：

$\begin{align*}&\text{Velocity is the time rate of change of position. In lay terms,}\\&\text{it is an instantaneous measure of speed and direction. However,}\\&\text{going back to that first definition, note that it is a rate,}\\&\text{and whenever the term rate is used, derivatives should come}\\&\text{to mind. The rate of change of position with respect to time}\\&\text{is the derivative of position with respect to time:}\\&v(t)=\frac{dp(t)}{dt}\\&\text{Taking the derivative of our position function, }6t - cos(\frac{(13\cdot \pi t)}{2}) + 1\\&\text{We find the velocity function: }\frac{(13\cdot \pi sin(\frac{(13\cdot \pi t)}{2}))}{2}+ 6\\&\text{Plugging in our value of time we then get:}\\&v(7)=\frac{(13\cdot \pi sin(\frac{(13\cdot \pi (7))}{2}))}{2}+ 6\\&v(7)=-14.42\end{align*}$

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问题#697:衍生品

$\begin{align*}&\text{The position of a particle at a given time is given by the function:}\\&p(t)=3t - cos(\frac{(\pi t)}{2}) + sin(4\cdot \pi t) + 5t^{2} + 6t^{3} + 6\\&\text{What is its velocity at time }t=6\text{?}\end{align*}$

可能的答案:

723.57

223.53

250.17

249.33

正确答案:

723.57

解释：

$\begin{align*}&\text{Velocity is the time rate of change of position. In lay terms,}\\&\text{it is an instantaneous measure of speed and direction. However,}\\&\text{going back to that first definition, note that it is a rate,}\\&\text{and whenever the term rate is used, derivatives should come}\\&\text{to mind. The rate of change of position with respect to time}\\&\text{is the derivative of position with respect to time:}\\&v(t)=\frac{dp(t)}{dt}\\&\text{Taking the derivative of our position function, }3t - cos(\frac{(\pi t)}{2}) + sin(4\cdot \pi t) + 5t^{2} + 6t^{3} + 6\\&\text{We find the velocity function: }10t + 4\cdot \pi cos(4\cdot \pi t) +\frac{ (\pi sin(\frac{(\pi t)}{2}))}{2}+ 18t^{2} + 3\\&\text{Plugging in our value of time we then get:}\\&v(6)=10(6) + 4\cdot \pi cos(4\cdot \pi (6)) +\frac{ (\pi sin(\frac{(\pi (6))}{2}))}{2}+ 18(6)^{2} + 3\\&v(6)=723.57\end{align*}$

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