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AP微积分AB:关于关系图的对应特征

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例子问题

例子问题1:关系图的对应特征

函数在什么区间上 y = (x+3)^2(x-2) 既上凹又递减?

可能的答案:

$(-\infty, -4/3)$

(-4/3, 1/3)

$(1/3, \infty)$

$(-4/3, \infty)$

(-3, -4/3)

正确答案:

(-4/3, 1/3)

解释：

问题是，当导数为负，二阶导数为正时。首先求导，得到

y' =2(x+3)(x-2) +(x+3)^2 = (x+3)(2(x-2) + (x+3)) = (x+3)(3x -1)

解出0，我们看到了达到0 x = -3 而且 x = 1/3 ．构建区间检验，

$(-\infty, -3), (-3, 1/3), (1/3, \infty)$ 我们想知道每一个区间的符号。因此，我们在每个区间中选择一个值，并将其代入导数中，看它是负的还是正的。我们选择-5 0和1作为我们的三个值。

y'(-5) = (-2)(-16) = 32

y'(0) = (3)(-1) = -3

y'(1) = (4)(2) = 8

因此，我们可以看到，导数只在区间上为负 (-3, 1/3) ．

重复二阶导数的过程，

y'' = (3x-1) + 3(x+3) = 6x + 8

读者可以证明这个方程在-4/3处为0。因此，检验二阶导数的区间为

$(-\infty, -4/3), (-4/3, \infty)$ ．代入-2和0，我们可以看到第一个区间是负的，第二个区间是正的。

因为我们想要二阶导数为正，一阶导数为负的区间，我们需要取两个区间的交点或重叠:

$(-3, 1/3) \cap (-4/3, \infty) = (-4/3, 1/3)$

如果这一步让人困惑，试着在数轴上画出来——第一个区间是从-3到1/3，第二个区间是从-4/3到无穷。它们只在-4/3到1/3的较小区间重叠。

因此，我们的最终答案是 (-4/3, 1/3)

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例子问题2:关系图的对应特征

在闭合区间上，函数 f'(x) 是减少的。我们能说什么呢 f(x) 而且 f''(x) 在这些间隔?

可能的答案:

f(x) 在减少

f(x) 是负的

f''(x) 在减少

其他两个或两个以上的答案是正确的。

f''(x) 是负的

正确答案:

f''(x) 是负的

解释：

如果 f'(x) 是递减的，那么它的导数是负的。的导数 f'(x) 是 f''(x) ，所以这告诉我们 f''(x) 是负的。

为 f(x) 减少, f'(x) 必须是负的，我们不知道。

f(x) 负和它的斜率无关。

为 f''(x) 求导是递减的 f'''(x) 需要是负的，或者 f'(x) 应该是向下凹的，这个我们不知道。

因此，唯一正确的答案是 f''(x) 是负的。

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例子问题1:关系图的对应特征

$h (x) = \压裂{f + g} {f}$

如果

f(x)=1

$f^{'}(x)=2$

g(x)=3

而且 $g^{'}(x)=4$ ，

然后找到 $h^{'}(x)$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们看到答案是当我们使用乘法法则时。

$h (x) = \压裂{f + g} {f}$

$h (x) = \压裂{(f (x) + g的(x)) (f (x)) - (f (x) + g (x)) (f (x))} {f ^ {2}}$

$h (x) = \压裂{(2 + 4)(1)- (1 + 3)(2)}{1 ^ {2}}= 2$

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