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AP微积分AB:和的图的对应特征

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例子问题

例子问题1:和′图的对应特征

在高速公路上行驶的汽车的速度由以下时间函数给出:

f(t) = 5t^2+2t

考虑第二个函数:

g(t) = 10t+2

关于第二个函数我们能得出什么结论?

可能的答案:

它表示在给定时间内距离的变化．

它表示汽车速度变化的速率。

它表示汽车在某一时刻行驶的总距离．

它和前面的函数没有关系。

它代表了汽车速度的另一种写法。

正确答案:

它表示汽车速度变化的速率。

解释：

注意这个函数 g(t) 仅仅是的导数 f(t) 关于时间。要看到这一点，只需对这两项分别使用幂法则。

f'(t) = (2)(5)t + 2 = g(t)

因此, g(t) 是汽车速度变化的速率，这个量叫做加速度。

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例子问题1:和′图的对应特征

求出函数的临界数，

$f(x)=\frac{1+x^2}{x}$

可能的答案:

$x =\left \{ -1,1\right \}$

$x =\left \{ -1,0,1\right \}$

$x =\left \{ 1\right \}$

$x =\left \{ -1\right \}$

$x =\left \{ 1\right \}$

正确答案:

$x =\left \{ -1,1\right \}$

解释：

$f(x)=\frac{1+x^2}{x}$

1)回顾临界点的定义:

函数的临界点 f(x) 被定义为点 (a,f(a)) ，以致于 x=a 在的范围内 f(x) 的导数 f'(a) 为零或不存在。数量 x=a 叫做临界数 f(x) ．

2)区分，

$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x^2}{x} \right )=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}+x \right )=-\frac{1}{x^2}+1$

3)设为零，求解，

$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1= 0$

$\frac{1}{x^2}=1$

的重要的数字是谁,

$x =\left \{ -1,1\right \}$

我们还可以观察到导数不存在于 x = 0 ，因为 $-\frac{1}{x^2}$ 期限是无限的。然而,不是临界值吗因为原来的函数 f(x) 没有在 x=0 ．原函数在点处为无穷大 x=0 ，因此 x = 0 的垂直渐近线 f(x) 从图表中可以看出，

第7题图

进一步讨论

在这个问题中，我们被要求得到临界数。如果我们被要求找到临界点,我们可以简单地对函数求值 f(x) 在临界数处找到对应的函数值，然后将它们写成一组有序的对，

$\left \{(-1,-2), (1,2) \right \}$

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例子问题2:和′图的对应特征

这个函数 f(x) 是对所有实数定义的连续的二次可微函数。

如果下列情况为真:

哪个函数可以是 f(x) ?

可能的答案:

$\frac{1}{x^2}$

ln(x)

e^x

sin(x)

正确答案:

ln(x)

解释：

要回答这个问题，我们必须首先解释我们给定的条件:

暗示函数为严格意义上的增加。
暗示函数为严格向下凹。

我们注意到，满足这两个条件的唯一函数是 lnx ．

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例子问题3:和′图的对应特征

一个慢跑者离开了城市在 t=0 ．他接下来的位置，单位是英尺，由函数给出:

$x(t) = 5t^{2} - 3t + 2$ ，

在哪里是以分钟为单位的时间。

求慢跑者的加速度 t=15 分钟。

可能的答案:

$10\ ft$

$10\ ft/min$

$147\ ft/min$

$10\ ft/min^{2}$

$147\ ft/min^{2}$

正确答案:

$10\ ft/min^{2}$

解释：

加速度由位置函数的二阶导数给出:
a(t) = f''(t)

对于给定的位置函数:

$f(t) = 5t^{2} - 3t + 2$ ，

f'(t) = 10t - 3 ，

f''(t) = 10 ．

因此，加速度在 t=15 分钟是 $10\ ft/min^{2}$ ．同样，注意单位必须在 $ft/min^{2}$ ．

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