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AP微积分AB:导数的计算

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例子问题

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例子问题1:函数的导数

微积分第二基本定理(FTOC)

考虑函数方程(1)

$F(x)=\int_a^xf(t)dt$ (1）

《第二项自由贸易协定》规定，如果:

在开区间上是连续的吗．
是在．
而且的不定积分是多少

那么我们必须，

F'(x)=f(x) （2）

区分,

$f(x)=\sin(x^2)+\int_o^{x^2+1}\ln(t+1)dt$

可能的答案:

$f'(x)=cos(x^2)-\frac{1}{x^2+2}$

$f'(x)=2x\left[\cos(x^2)+\frac{1}{x^2+1}\right]$

$f'(x)=2x\left[\cos(x^2)+\ln(x^2+2)\right]$

$f'(x)=2x\left[\cos(x^2)+\ln(x^2+2)\right]$

$f'(x)=2x\cos(x^2)+\ln(x^2+1)$

正确答案:

$f'(x)=2x\left[\cos(x^2)+\ln(x^2+2)\right]$

解释：

区分:

$f(x)=\sin(x^2)+\int_o^{x^2+1}\ln(t+1)dt$

$f'(x) = \frac{d}{dx}\sin(x^2)+\frac{d}{dx}\int_o^{x^2+1} \ln(t+1)dt$

这两项必须用链式法则求导。第二项将结合链式法则和微积分第二基本定理。为了使第二项的导数更容易理解，定义一个新的变量，使积分的极限具有前文式(1)所示的形式。

让,

u= x^2+1

因此,

$\frac{du}{dx}=2x$

现在我们可以用链式法则把导数写成

$f'(x) = 2x\cos(x^2)+\frac{du}{dx}\frac{d}{du}\left(\int_o^{u} \ln(t+1)dt\right)$

$f'(x) = 2x\cos(x^2)+2x\underset{Use_, FTOC}{ \underbrace{\frac{d}{du}\left(\int_o^{u} \ln(t+1)dt\right)}}$

我们来计算关于的导数在第二项使用第二FTOC，然后转换回．

$\frac{d}{du}\int_o^{u} \ln(t+1)dt = \ln (u+1) = \ln\left \{ (x^2+1)+1 \right \} = \ln(x^2+2)$

因此我们有，

$f'(x)=2x\cos(x^2)+2x\ln(x^2+2)$

$f'(x)=2x\left[\cos(x^2)+\ln(x^2+2)\right]$

例子问题1:函数的导数

求导数。

12x^3

可能的答案:

24x^2

36x^3

36x^2

正确答案:

36x^2

解释：

用幂法则求导数。

$\frac{d}{dx}12x^3=36x^2$

例子问题2:函数的导数

求以下的导数:

f(x)=3x+2

可能的答案:

f'(x)=3x^2+2x

f'(x)=5

f'(x)=3

以上都不是

正确答案:

f'(x)=3

解释：

要求导，你需要把幂移到方程前面，乘以系数，然后去掉幂。

所以:

f(x)=3x+2 就变成了 f'(x)=3

因为“x”的次数只有1，当你用3乘以1时，你得到3,x的幂就变成了0。第二项只是一个常数任意项的导数都是0。

例子问题1:导数的计算

找到 f'(x) ：

$f(x)=\frac{2x}{x}$

可能的答案:

$f'(x)=\frac{1}{x^2}$

f'(x)=0

$f'(x)=\frac{2x-1}{x}$

$f'(x)=\frac{2x-1}{x^2}$

$f'(x)=\frac{1}{x}$

正确答案:

f'(x)=0

解释：

要做这道题，你需要使用除法法则。所以你做了

(低)(高的导数)-(高)(低的导数)都除以底下一项的平方。

所以:

$\frac{x(2)-2x(1))}{x^2}$

简化后是:

$\frac{2x-2x}{x^2}=0$

例子问题1:函数的导数

找到 f'(x) ：

(3x^3)(x)

可能的答案:

f'(x)=9x^3+3x^2

f'(x)=9x^3

f'(x)=12x^2

f'(x)=9x^2

f'(x)=12x^3

正确答案:

f'(x)=12x^3

解释：

这是乘法法则，即:(第一个的导数)(第二个的导数)+(第二个的导数)(第一个)

所以:

(9x^2)(x)+(1)(3x^3)=12x^3

示例问题21:Ap微积分Ab

求以下的导数:

$f(x)=(x^2)(\frac{1}{x})$

可能的答案:

f'(x)=x-1

$f'(x)=x^2-\frac{1}{x^2}$

f'(x)=0

f'(x)=1

$f'(x)=x-\frac{1}{x}$

正确答案:

f'(x)=1

解释：

这是链式法则和除法法则的结合。

所以:

$2x(\frac{1}{x})+\frac{0-1}{x^2}(x^2)=2-\frac{x^2}{x^2}$

化简后得到:

f'(x)=2-1=1

问题22:Ap微积分Ab

求以下的导数:

f(x)=sin(x)+tan(x)

可能的答案:

f'(x)=cos(x)-sec^2(x)

f'(x)=cos(x)+sec^2(x)

f'(x)=-cos(x)+sec^2(x)

f'(x)=-cos(x)-sec^2(x)

正确答案:

f'(x)=cos(x)+sec^2(x)

解释：

这个问题就是用三角函数求导数的加法。

所以:

f'(x)=cos(x)+sec^2(x)

例子问题2:导数的计算

求导数:

$\frac{tan(x)}{x^2}$

可能的答案:

$f'(x)=\frac{xsec^2(x)+2tan(x)}{x^3}$

$f'(x)=\frac{-xsec^2(x)+2tan(x)}{x^3}$

$f'(x)=\frac{xsec^2(x)-2tan(x)}{x^3}$

$f'(x)=\frac{-xsec^2(x)-2tan(x)}{x^3}$

$f'(x)=\frac{xsec^2(x)-2tan(x)}{x^4}$

正确答案:

$f'(x)=\frac{xsec^2(x)-2tan(x)}{x^3}$

解释：

这是一个使用三角函数的除法法则。

所以:

$f'(x)=\frac{x^2(sec^2(x))-tan(x)(2x)}{x^4}$

你可以取出一个“x”，然后取消它，得到:

$f'(x)=\frac{xsec^2(x)-2tan(x)}{x^3}$

问题23:Ap微积分Ab

求导数:

$f(x)=x^{-10}$

可能的答案:

$f'(x)=\frac{-10}{x^{11}}$

$f'(x)=\frac{10}{x^{11}}$

$f'(x)=\frac{-10}{x^9}$

$f'(x)=\frac{10}{x^9}$

正确答案:

$f'(x)=\frac{-10}{x^9}$

解释：

这和常规导数的概念是一样的只是指数是负的。

$f'(x)=-10(x^{-9})$

这就变成:

$f'(x)=\frac{-10}{x^9}$

问题26:衍生品

计算 f'(x) ：

$\small f'(x)={(x^2)}^2$

可能的答案:

$\small f'(x)=4x^2$

$\small f'(x)=3x^2$

$\small f'(x)=(x^2)(2x)$

$\small f'(x)=2(x^2)(2x)$

正确答案:

$\small f'(x)=2(x^2)(2x)$

解释：

这是一个可以利用u替换的幂法则。

所以 $\small f'(x)=(u)^2*u'$

在哪里 $\small u=x^2$

所以你得到:

$\small f'(x)=2u*u'$

把u代回去，就得到:

$\small f'(x)=2(x^2)(2x)$

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