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代数2:复数方程

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例子问题

例子问题1:复数方程

x, y 都是实数。

$4x+ \left (3y+ 4 \right ) i = 21 + 7i$

评估．

可能的答案:

y = 6.25

y = 5.25

y = -1

y = 1

y =- 5.25

正确答案:

y = 1

解释：

两个虚数要相等，它们的虚部必须相等。因此，我们设置并求解:

3y + 4 = 7

3y = 3

y = 1

报告错误

例子问题2:复数方程

如果 $\small x$ 而且 $\small y$ 是实数吗 $\small \small 3x+y+(2x+2y)i=13+10i$ ，什么是 $\small z$ 如果 $\small z=x-4y$ ?

可能的答案:

$\small 0$

$\small -13\frac{3}{4}$

$\small -15i$

$\small -15$

$\small -16\frac{1}{4}$

正确答案:

$\small 0$

解释：

来解 $\small z$ ，我们必须先用复数来解方程 $\small x$ 而且 $\small y$ ．因此，我们需要将复数的实数部分与表达式的实数部分匹配，并将复数的虚数部分与表达式的虚数部分匹配。因此，我们得到:

$\small 3x+y=13$ 而且 $\small 2x+2y=10$

我们可以用代换法注意到第一个方程可以写成 $\small y=13-3x$ 把它代入第二个方程。我们可以解出 $\small x$ ：

$\small 2x+2(13-3x)=10$

$\small 2x+26-6x=10$

$\small -4x=-16$

$\small x=4$

用这个 $\small x$ 值，我们可以解出来 $\small y$ ：

$\small 3(4)+y=13$

$\small 12+y=13$

$\small y=1$

因为我们现在 $\small x$ 而且 $\small y$ ，我们可以解出来 $\small z$ ：

$\small z=x-4y$

$\small \small z=(4)-4(1)=0$

因此，我们最终的答案是 $\small z=0$

报告错误

例子问题3:复数方程

解出如果 $x = 4\cdot \left ( i^2 + 3\right )$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

按照运算顺序来处理这个问题就像处理其他代数问题一样。我们首先计算括号内的内容: i^2 + 3 ．在这一点上，我们需要知道具体如下:

$i = \sqrt{-1}$

i^2 = -1

$i^3 = -\sqrt{-1}$

i^4 = 1

因此, i^2 + 3 = -1+3 = 2 原来的表达式变成了 $x = 4 \cdot (2) = 8$

报告错误

问题4:复数方程

评估和简化 (i+3)^2 ．

可能的答案:

8+6i

其他答案都没有。

9+6i

正确答案:

8+6i

解释：

第一步是求表达式的值。通过FOILing表达式，我们得到:

(i+3)(i+3)

$=i\cdot i+3i+3i+3\cdot 3$

=i^2 + 6i + 9

现在我们需要利用的性质来化简任何项

$i = \sqrt-1$

i^2 = -1

$i^3 = -\sqrt-1$

i^4 = 1

因此，表达式变成

-1 + 6i + 9 = 8+6i

报告错误

例5:复数方程

解出：

(6+3i)^2=4i-30z

可能的答案:

$\frac{-27-32i}{30}$

$\frac{-27+32i}{30}$

$\frac{27-32i}{30}$

$\frac{-45-32i}{30}$

$\frac{27+32i}{30}$

正确答案:

$\frac{-27-32i}{30}$

解释：

为了解决这个问题，我们需要先化简我们的方程。我们要做的第一件事是把平方乘进去，这就得到了

(6+3i)(6+3i)=36+18i+18i+9i^2=36+36i+9i^2

现在 i^2 实际上只是．因此，这就变成了

36+36i-9=27+36i

现在我们要做的就是解在等式中:

$27+\underset{-4i}{36i}=\underset{-4i}{4i}-30z$

这给了我们

27+32i=30z

最后，我们得到

$\frac{27+32i}{-30}=\frac{-30z}{-30}$

因此我们的解是

$z = \frac{-27-32i}{30}$

报告错误

例子问题6:复数方程

解出而且：

$ai^{93}+bi^{35}+ai^{24}-bi^{86}=40+20i$

可能的答案:

a=40, b=20

a=20, b=40

a=15, b=15

a=30, b=10

a=10, b=30

正确答案:

a=30, b=10

解释：

记住,

$i = \sqrt{-1}\\ i^2 = \sqrt{-1}^2 = -1\\ i^3 = i^2\cdot i = -1 \cdot i = -i\\ i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1\\ i^5 = i^4\cdot i = 1\cdot i = i = \sqrt{-1}\\ i^6 = i^4\cdot i^2 = 1\cdot i^2 = i^2 =-1$

那么循环。这意味着当我们试图求出的指数值时我们可以忽略所有幂的倍数因为最终结果乘以，因此什么也不做。

这意味着

$ai^{93} + bi^{35} + ai^{24} - bi^{86}\\ = ai^{92+1} + bi^{32+3} + ai^{24+0} - bi^{84+2}\\ = ai^{92}\cdot i^1 + bi^{32}\cdot i^3 + ai^{24}\cdot i^0 - bi^{84}\cdot i^2\\ =a(i^4)^{23}\cdot i^1 + b(i^4)^8\cdot i^3 + a(i^4)^6\cdot i^0 - b(i^4)^{21}\cdot i^2\\ = a (1^{23})\cdot i + b(1^8)\cdot i^3 + a(1^6) - b(1^{21})\cdot i^2$

现在，记住指数之间的关系，我们可以将其简化为:

$ai - bi + a - (-b) = ai-bi+a+b\\ = (a+b) + (a-b)i = 40+20i$

因为左边和右边的元素必须对应(没有混合和匹配!)，我们得到的关系:

a+b=40

a-b=10

不管你怎么解，都能得到值 a=30 ， b=10 ．

报告错误

例子问题1:复数方程

解决

$2x^{^{2}} - 1 = 2x^{2} +3$

可能的答案:

没有解决方案

x=2

都是实数

x=1

x=3

正确答案:

没有解决方案

解释：

来解决

$2x^{^{2}} - 1 = 2x^{2} +3$

减去 $2x^{2}$ 从双方:

-1=3

这从来都不是真的，所以没有解。

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