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代数1:因式多项式

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例子问题

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例子问题1:如何因式分解多项式

考虑以下因素:

x^2-7x+6

可能的答案:

没有可用的答案

(x-6)(x+1)

x(x-6)

(x-6)(x-1)

(x-5)(x+2)

正确答案:

(x-6)(x-1)

解释：

我们将讨论一般方程中的系数:

ax^2 +bx+c

在这种情况下，是正的是负的，并且 a=1 ，所以我们知道我们的答案包含两个负数，它们是的因数然后加上．答案是:

(x-6)(x-1)

例子问题1:二次方程

解出： $x^{2}+16x=-28$

可能的答案:

x=-4,-7

x=1,28

x=2,14

x=-2,-14

正确答案:

x=-2,-14

解释：

这是一个因式分解的问题，所以我们需要把所有的变量都放在一边，让方程等于零。要做这个，我们要做减法从两边得到 $x^{2}+16x+28=0$

用这种形式来思考这个等式，有助于下面的解释。 $ax^{2}+bx+c=0$

我们必须因式分解来找到解决的办法．要做到这一点，我们必须建立一个因子树在这个例子中是28来找出可能的解。可能的数字是 $1\cdot 28$ ， $2\cdot 14$ ， $4\cdot 7$ ．

自如果是正数我们知道因式分解会得到两个正数。

然后我们用加法和因式分解树来找出相加等于的数．所以 28+1=29 ， 2+14=16 , 4+7=11

成功!14加2等于．然后我们把数字代入因式 (x+2)(x+14)=0

我们知道任何数乘以0都等于0所以我们代入使得每个方程都等于0在这种情况下 x=-2,-14 ．

例子问题2:多项式因式分解

因式分解:

$x^{2} + 2x - 15$

可能的答案:

x = 15

x = 3, -5

x = -3, 5

x= 3, -3

x = 5, -5

正确答案:

x = 3, -5

解释：

因式分解1得到

$y = (x-3)\left ( x + 5 \right )$

现在将两个因子分别设置为0(使用0属性)，其中一个得到

x= 3 或 x= -5

例子问题1:多项式因式分解

用二次公式求解:

$6x^{2}+x +15$

可能的答案:

$\frac{-1}{12} + \frac{\sqrt{359}}{12}$

$-1 + \sqrt{359}i$

$-1 - \sqrt{359}i$

$\frac{1}{12} + \frac{\sqrt{359}}{12}$

$\frac{-1}{12}+ \frac{\sqrt{359}i}{12}$

$\frac{-1}{12} - \frac{\sqrt{359 }i}{12}$

$\frac{1}{12} - \frac{\sqrt{359}}{12}$

正确答案:

$\frac{-1}{12}+ \frac{\sqrt{359}i}{12}$

$\frac{-1}{12} - \frac{\sqrt{359 }i}{12}$

解释：

对于二次方程 $a=6,b=1,and\ c=15$ ．把这些应用到二次公式中

$\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

我们得到了 $\frac{-1 \pm \sqrt{1-4(6)15)}}{2\cdot 6}$

导致

$\frac{-1 \pm \sqrt{-359}}{12} = \frac{-1 +\sqrt{359}i}{12}$

而且 $\frac{-1 - \sqrt{359}i}{12}$

示例问题4:多项式因式分解

求出标准形式二次方程的对称轴和最小/最大值:

$- x^{2} + 4x - 12$

可能的答案:

x=2 ，函数的最小值 =-8

x=-2 ，函数的最大值 =-8

x=-2 ，函数的最小值 =-8

x=2 ，函数的最小值

x=2 ，函数的最大值 =-8

正确答案:

x=2 ，函数的最大值 =-8

解释：

如果我们将给定的二次方程从标准形式转换为顶点形式，我们得到:

$-\left ( x-2 \right )^{2} -8$

因此对称轴是

x=2 最小值在 x=2 是(此函数向下凹)

示例问题5:二次方程

写出一个圆心为(3,4)半径为的圆的方程 $\sqrt{5}$ ．

可能的答案:

$\left ( x-3 \right )^{3} + \left ( y +3 \right )^{2} = 5$

$\left ( x-3 \right )^{2} + \left ( y-4 \right )^{2} = 5$

$\left ( x-3 \right )^{2} + \left ( y-4 \right )^{2} = \sqrt{5}$

$\left ( x-3 \right )^{2} + \left ( y+4 \right )^{2} =\sqrt{5}$

$\left ( x+3) \right )^{2} + \left ( y-4 \right )^{2} = 5$

正确答案:

$\left ( x-3 \right )^{2} + \left ( y-4 \right )^{2} = 5$

解释：

圆心位于(3,4)这意味着圆的标准方程为:

$x^{2} +y^{2} = r^{2}$

就变成了

$\left ( x-3 \right )^{2} + \left ( y-4 \right )^{2} = \sqrt{5}^{2}$

等于

$\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-4 \right )^{2} = 5$

示例问题5:多项式因式分解

因素:

$8x^{3} - 1$

可能的答案:

$\left ( 2x^{2} \right +1)\left ( 4x-1 \right )$

$\left ( 2x + 1 \right )\left ( 4x^{2} \right -1 )$

$\left ( 2x-1 \right )\left \left ( 4x^{2} \right + 2x + 1)$

$\left ( 2x-1 \right )\left ( 4x^{2} \right +1)$

$\left ( 2x-1 \right )^{3}$

正确答案:

$\left ( 2x-1 \right )\left \left ( 4x^{2} \right + 2x + 1)$

解释：

这是一个立方的差。

$8,x^{3},\ and\ -1$ 都是立方体。所以这个表达式的因式分解公式是

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$8x^{3}-1=(2x-1)(4x^{2}+2x+1)$

示例问题6:多项式因式分解

标准形式圆的方程:

$\left ( x-h \right )^{2} + \left ( y - k \right )^{2} = r^{2}$

与中心 $\left ( h,k \right )$ 半径等于．

由所给展开式求圆心和半径:

$x^{2} +2x + y^{2} -4x = 6$

可能的答案:

中心: $\left ( 1,2 \right )$ 半径= $\sqrt{11}$

中心是 $\left ( -1,2 \right )$ 半径= $\sqrt{11}$

中心: $\left ( 1,-2 \right )$ 半径= $\sqrt{11}$

中心: $\left ( -1,-2 \right )$ 半径= $\sqrt{11}$

中心: $\left ( 1,-2 \right )$ 半径= $\sqrt{6}$

正确答案:

中心是 $\left ( -1,2 \right )$ 半径= $\sqrt{11}$

解释：

标准形式的方程为:

$\left ( x+1 \right )^{2} + \left ( y-2 \right )^{2} = 11$

因此有了中心: $\left ( -1,2 \right )$ 半径= $\sqrt{11}$ ．

例子问题1:如何因式分解多项式

因素:

$9x^{2} - 4y^{2}$

可能的答案:

$\left ( 3x + 2y \right )^{2}$

$\left ( 3x+2y \right )\left ( 3x+2y \right )$

$\left ( 3x-2y \right )\left ( 3x-2y \right )$

$\left ( 3x - 2y \right )^{2}$

$\left ( 3x + 2y \right )\left ( 3x - 2y \right )$

正确答案:

$\left ( 3x + 2y \right )\left ( 3x - 2y \right )$

解释：

两个平方数的差等于两项的和与差之积。

这两项是而且因此乘积等于

$\left ( 3x-2y \right )\left ( 3x + 2y \right )$

示例问题8:多项式因式分解

简化:

$\frac{x+1}{x^{2}-1}\cdot$ $\frac{x^{2}+2x-3}{2x}$

可能的答案:

$\frac{x+1}{2x}$

$\frac{\left ( x+3 \right )\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )2x}$

$\frac{x+3}{x^{2}-1}$

$\frac{x+3}{x^{2}-1}$

$\frac{x+3}{2x}$

正确答案:

$\frac{x+3}{2x}$

解释：

将分子和分母同时因式分解得到:

$\frac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )\left ( x+3 \right )}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )2x}$

如果我们化简，我们得到:

$\frac{x+3}{2x}$

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