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高等几何:如何画出指数函数

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例子问题

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例子问题1:如何画出指数函数

给方程图的-截距(s)

$y = 2^{x } - 20$

可能的答案:

(-20,0)

$\left ( 1 + \log_{2} 5, 0 \right )$

$\left ( 2 + \log_{2} 5, 0 \right )$

这个图没有拦截。

(10,0 )

正确答案:

$\left ( 2 + \log_{2} 5, 0 \right )$

解释：

集 y = 0 解出：

$y = 2^{x } - 20$

$2^{x } - 20 = 0$

$2^{x } - 20+ 20 = 0 + 20$

$2^{x } = 20$

$\log_{2} \left ( 2 ^{x}\right ) = \log_{2} 20$

$x = \log_{2} 20$

$= \log_{2} 4 + \log_{2} 5$

$= 2 + \log_{2} 5$

报告错误

例子问题2:如何画出指数函数

定义一个函数如下:

$f(x) = 3 ^{x-2}$

给的图的-截距．

可能的答案:

(2, 0)

(3,0)

(0,0)

$(\ln 3, 0)$

的图形没有拦截。

正确答案:

的图形没有拦截。

解释：

自-intercept是图像所处的点相交的设在,-coordinate为0，而-coordinate可以通过setting找到 f(x) 等于0，解．因此，我们需要找到这样 $3 ^{x-2} = 0$ ．然而，任何正数的幂都必须是正的，所以 $3 ^{x-2} > 0$ 说真的, $3 ^{x-2} = 0$ 没有真正的解。的图形因此没有拦截。

报告错误

例子问题3:如何画出指数函数

定义一个函数如下:

$f(x) = 2 ^{x-3}+ 5$

给出的图形的垂直线．

可能的答案:

x= 3

x = 5

的图形没有垂直渐近线。

x= 2

$x= - \frac{5}{2}$

正确答案:

的图形没有垂直渐近线。

解释：

因为任何数字，正数或负数，都可以作为指数出现，即函数的定义域 $f(x) = 2 ^{x-3}+ 5$ 是所有实数的集合;换句话说， f(x) 的所有实值都有定义．因此，图不可能有垂直渐近线。

报告错误

示例问题31:几何坐标

定义一个函数如下:

$f(x) = 3 ^{x-3}- 9$

给的图的-截距．

可能的答案:

(9,0)

(12,0)

(3,0)

的图形没有拦截。

(5,0)

正确答案:

(5,0)

解释：

自-intercept是图像所处的点相交的设在,-coordinate为0，而-coordinate可以通过setting找到 f(x) 等于0，解．因此，我们需要找到这样

$3 ^{x-3}- 9 = 0$ ．

$3 ^{x-3}= 9$

$3 ^{x-3}= 3 ^{2}$

x-3 = 2

x = 5

的-intercept因此为 (5,0) ．

报告错误

问题32:几何坐标

定义一个函数如下:

$f(x) = 2 ^{x-1} + 7$

给出图的横坐标．

可能的答案:

y = 1

$y = -\frac{7}{2}$

y = 7

y = 2

y = 0

正确答案:

y = 7

解释：

一个指数函数的水平渐近线可以通过注意到一个正数的任意次方一定是正的来找到。因此, $2 ^{x-1} > 0$ 而且 $y= 2 ^{x-1} + 7 > 7$ 对于所有的实值．这个图形永远不会穿过等温线 y = 7 这是水平渐近线。

报告错误

示例问题33:几何坐标

定义函数而且如下:

$f(x) = 2^{x +2}$

$g(x) = 4^{x-1}$

给 $y \,$ -它们图形交点的坐标。

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，我们用一个共同的基来重写两个函数:

$f(x) = 2^{x +2}$ 就这样。

$g(x) = 4^{x-1}$ 可以改写为

$g(x) = \left (2 ^{2} \right )^{x-1}$

$g(x) = 2 ^{2 (x-1)}$

$g(x) = 2 ^{2x-2}$

求函数图的交点，设

f(x) = g(x)

$2^{x +2}= 2 ^{2x-2}$

幂相等，底也相等，所以我们可以让指数彼此相等，并求解:

x+ 2= 2x-2

x+ 2 -x +2= 2x-2 -x +2

x = 4

要找到 $y\,$ -coordinate，用4代替在任何一种定义中:

$f(x) = 2^{x +2}$

$f(4) = 2^{4+2}= 2^{6} = 64$ ，正确的回答。

报告错误

问题34:几何坐标

定义一个函数如下:

$f(x) = 4 ^{x+2} - 3$

给的图的-截距．

可能的答案:

$\left ( 0, \frac{3}{4}\right )$

(0,1)

(0,13)

(0,2)

(0,-3)

正确答案:

(0,13)

解释：

的协调在的图的-截距是0，它的协调是 f(0) ：

$f(x) = 4 ^{x+2} - 3$

$f(0) = 4 ^{0+2} - 3 = 4 ^{2} - 3 = 16 - 3 = 13$

的-intercept是点 (0,13) ．

报告错误

问题35:几何坐标

定义函数而且如下:

$f(x) = 3^{x +2}$

$g(x) =\left ( \frac{1}{9} \right )^{x-1}$

给 $y \,$ -它们图形交点的坐标。

可能的答案:

$9\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

正确答案:

解释：

首先，我们用一个共同的基来重写两个函数:

$f(x) = 3^{x +2}$ 就这样。

$g(x) =\left ( \frac{1}{9} \right )^{x-1}$ 可以改写为

$g(x) =\left ( 3^{-2} \right )^{x-1}$

$g(x) = 3^{-2 (x-1)}$

$g(x) = 3^{-2 x+2}$

求函数图的交点，设

f(x) = g(x)

$3^{x +2} = 3^{-2 x+2}$

由于同底数的幂相等，我们可以将指数设为相等:

x+2 = -2x + 2

x+2 + 2x -2 = -2x + 2 + 2x -2

3x=0

x= 0

现在代入任意一个函数:

$f(x) = 3^{x +2}$

$f(0) = 3^{0 +2} = 3^{ 2} = 9$ ，正确答案。

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问题36:几何坐标

定义一个函数如下:

$f(x) =5^{x-3}$

给的图的-截距．

可能的答案:

$\left ( 0, \frac{1}{243} \right )$

$\left ( 0,243 \right )$

(0,15)

$\left ( 0, \frac{1}{125} \right )$

$\left ( 0,125 \right )$

正确答案:

$\left ( 0, \frac{1}{125} \right )$

解释：

自-intercept是图像所处的点相交的设在,-coordinate为0，而协调是 f(0) ：

$f(x) =5^{x-3}$

$f(0) =5^{0-3}= 5^{-3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}$ ，

的-intercept是点 $\left ( 0, \frac{1}{125} \right )$ ．

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问题37:几何坐标

$2 ^{x+1} + 3^{y} = 59$

$2 ^{x } - 3^{y} = -11$

评估 x+y ．

可能的答案:

系统没有解。

正确答案:

解释：

将系统重写为

$2 \cdot 2 ^{x} + 3^{y} = 59$

$2 ^{x } - 3^{y} = -11$

和替代而且为 $2 ^{x }$ 而且 $3^{y}$ ，分别形成体系

2u + v= 59

u- v= -11

两边相加:

2u + v= 5

$\underline{u- v= 43}$

=48

u = 16 ．

现在backsolve:

16- v= -11

- v= - 27

v= 27

现在代回:

u = 16

$2 ^{x } = 16$

x = 4

而且

v= 27

$3^{y}= 27$

y=3

x+y =4+3 = 7

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