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高等几何:如何求圆锥体的表面积

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例子问题

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示例问题31:如何求圆锥体的表面积

在下面的图中，一个锥体被放置在一个圆柱体的顶部，这样它们就可以共享相同的底座。求图形的表面积。

可能的答案:

2261.95

2509.88

1909.34

2395.96

正确答案:

2261.95

解释：

首先，求出锥体的侧表面积。

$\text{Lateral Surface Area}=(\text{slant height})(\pi)(\text{radius})$

代入给定的斜面高度和半径。

$\text{Lateral Area}=(18)(12)\pi=216\pi$

接下来，求出圆柱体的表面积:

$\text{Surface Area of Cylinder}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+2\pi(\text{radius})^2$

圆柱体的表面积是圆柱体及其两个底座的侧表面积之和。然而，由于圆柱体的一个底部被锥体覆盖，我们将需要从圆柱体的总表面积中减去这个面积。

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+\pi(\text{radius})^2$

代入给定的高度和半径，求出图形圆柱形部分的表面积:

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(12)(15)+\pi(12)^2=504\pi$

为求图形的表面积，将锥体的横向面积与图形的圆柱形部分的表面积相加。

$\text{Surface Area of Figure}=216\pi+504\pi=720\pi=2261.95$

一定要四舍五入小数点后几位。

报告错误

问题32:如何求圆锥体的表面积

在下面的图中，一个锥体被放置在一个圆柱体的顶部，这样它们就可以共享相同的底座。求图形的表面积。

可能的答案:

1851.25

2010.77

1790.71

1669.02

正确答案:

1790.71

解释：

首先，求出锥体的侧表面积。

$\text{Lateral Surface Area}=(\text{slant height})(\pi)(\text{radius})$

代入给定的斜面高度和半径。

$\text{Lateral Area}=(17)(10)\pi=170\pi$

接下来，求出圆柱体的表面积:

$\text{Surface Area of Cylinder}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+2\pi(\text{radius})^2$

圆柱体的表面积是圆柱体及其两个底座的侧表面积之和。然而，由于圆柱体的一个底部被锥体覆盖，我们将需要从圆柱体的总表面积中减去这个面积。

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+\pi(\text{radius})^2$

代入给定的高度和半径，求出图形圆柱形部分的表面积:

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(10)(15)+(10)^2\pi=400\pi$

为求图形的表面积，将锥体的横向面积与图形的圆柱形部分的表面积相加。

$\text{Surface Area of Figure}=170\pi+400\pi=570\pi=1790.71$

一定要四舍五入小数点后几位。

报告错误

示例问题33:如何求圆锥体的表面积

在下面的图中，一个锥体被放置在一个圆柱体的顶部，这样它们就可以共享相同的底座。求图形的表面积。

可能的答案:

7409.57

8917.13

6918.71

7277.90

正确答案:

7277.90

解释：

首先，求出锥体的侧表面积。

$\text{Lateral Surface Area}=(\text{slant height})(\pi)(\text{radius})$

代入给定的斜面高度和半径。

$\text{Lateral Area}=(25\sqrt3)(22)\pi=(550\sqrt3)\pi$

接下来，求出圆柱体的表面积:

$\text{Surface Area of Cylinder}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+2\pi(\text{radius})^2$

圆柱体的表面积是圆柱体及其两个底座的侧表面积之和。然而，由于圆柱体的一个底部被锥体覆盖，我们将需要从圆柱体的总表面积中减去这个面积。

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+\pi(\text{radius})^2$

代入给定的高度和半径，求出图形圆柱形部分的表面积:

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(22)(20)+\pi(22)^2=1364\pi$

为求图形的表面积，将锥体的横向面积与图形的圆柱形部分的表面积相加。

$\text{Surface Area of Figure}=(550\sqrt3)\pi+1364\pi=7277.90$

一定要四舍五入小数点后几位。

报告错误

问题34:如何求圆锥体的表面积

在下面的图中，一个锥体被放置在一个圆柱体的顶部，这样它们就可以共享相同的底座。求图形的表面积。

可能的答案:

2035.75

2166.39

2635.29

2077.08

正确答案:

2035.75

解释：

首先，求出锥体的侧表面积。

$\text{Lateral Surface Area}=(\text{slant height})(\pi)(\text{radius})$

代入给定的斜面高度和半径。

$\text{Lateral Area}=(16)(12)\pi=192\pi$

接下来，求出圆柱体的表面积:

$\text{Surface Area of Cylinder}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+2\pi(\text{radius})^2$

圆柱体的表面积是圆柱体及其两个底座的侧表面积之和。然而，由于圆柱体的一个底部被锥体覆盖，我们将需要从圆柱体的总表面积中减去这个面积。

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(\text{radius})(\text{height})+\pi(\text{radius})^2$

代入给定的高度和半径，求出图形圆柱形部分的表面积:

$\text{Surface Area of Cylindrical Portion}=2\pi(12)(13)+\pi(12)^2=456\pi$

为求图形的表面积，将锥体的横向面积与图形的圆柱形部分的表面积相加。

$\text{Surface Area of Figure}=192\pi+456\pi=648\pi=2035.75$

一定要四舍五入小数点后几位。

报告错误

问题35:如何求圆锥体的表面积

图不是按比例画的。

上面这个圆锥体的底部周长为50。给出圆锥的表面积。

四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

301

699

712

737

306

正确答案:

699

解释：

圆锥的表面积可以用这个公式来计算

$S = \pi r (r+l)$

在哪里底和的半径是是倾斜高度。已知倾斜高度为20。

圆形底座的半径可以用它的周长50除以来求 $2 \pi$ ：

$r = \frac{50}{2 \pi} \approx \frac{50}{2 \cdot 3.1416} \approx 7.958$

集 r = 7.958 而且 l = 20 ，并评估:

$S = \pi r (r+l)$

$S \approx 3.1416 \cdot 7.958 \cdot (7.958 + 20)$

$\approx 3.1416 \cdot 7.958 \cdot 27.958$

$\approx 699$

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问题36:如何求圆锥体的表面积

图不是按比例画的。

上面圆锥的底部面积为50。给出圆锥的表面积。

四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

301

737

306

712

699

正确答案:

301

解释：

该地区半径圆基的大小由公式表示

$\pi r^{2}= A$

圆的面积是50，设定好 A = 50 ，然后解出：

$\pi r^{2}= 50$

除以 $\pi$ ：

$\frac{\pi r^{2}}{\pi}= \frac{50}{\pi}$

$r^{2} \approx \frac{50}{3.1416}$

$r^{2} \approx 15.9155$

两边取平方根:

$r \approx \sqrt{15.9155}$

$r \approx 3.9894$

圆锥的表面积是底面面积和侧面面积的总和。锥体的横向面积可以从半径中找到还有倾斜高度使用公式

$L = \pi r l$

集 $r \approx 3.9894$ 而且 l = 20 ：

$L \approx 3.1416 \cdot 3.9894 \cdot 20$

$L \approx 251$

加上底面面积50:

$S \approx 251 + 50 = 301$

报告错误

问题37:如何求圆锥体的表面积

图不是按比例画的。

上面圆锥的底部面积为50。给出圆锥的表面积。

四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

306

699

712

737

301

正确答案:

306

解释：

该地区半径圆基的大小由公式表示

$\pi r^{2}= A$

圆的面积是50，设定好 A = 50 ，然后解出：

$\pi r^{2}= 50$

除以 $\pi$ ：

$\frac{\pi r^{2}}{\pi}= \frac{50}{\pi}$

$r^{2} \approx \frac{50}{3.1416}$

$r^{2} \approx 15.9155$

两边取平方根:

$r \approx \sqrt{15.9155}$

$r \approx 3.9894$

现在看看下图。

斜面高度可由高度计算半径通过勾股定理:

$l = \sqrt{h^{2}+r^{2}}$

$l = \sqrt{20^{2}+ 3.9894^{2}}$

$\approx \sqrt{400 + 15.9153 }$

$\approx \sqrt{4 15.9153 }$

$\approx 20.3940$

圆锥的表面积是底面面积和侧面面积的总和。锥体的横向面积可以从半径中找到还有倾斜高度使用公式

$L = \pi r l$

集 $r \approx 3.9894$ 而且 l = 20.3940 ：

$L \approx 3.1416 \cdot 3.9894 \cdot 20.3940$

$L \approx 256$

将底面面积50与这个横向面积相加，得到表面积:

$S \approx 256 + 50 = 306$ ．

报告错误

问题38:如何求圆锥体的表面积

图不是按比例画的。

上面这个圆锥体的底部周长为50。给出圆锥的表面积。

四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

737

301

699

712

306

正确答案:

737

解释：

圆锥的表面积可以用这个公式来计算

$S = \pi r (r+l)$

在哪里底和的半径是是倾斜高度。

圆形底座的半径可以用它的周长50除以来求 $2 \pi$ ：

$r = \frac{50}{2 \pi} \approx \frac{50}{2 \cdot 3.1416} \approx 7.958$

请看下图。

斜面高度可由高度计算半径通过勾股定理:

$l = \sqrt{h^{2}+r^{2}}$

$l = \sqrt{20^{2}+ 7.958^{2}}$

$\approx \sqrt{400 + 63.3298}$

$\approx \sqrt{4 63.3298}$

$\approx 21.5251$

集 $r \approx 7.958$ 而且 $l \approx 21.5251$ 在表面积公式中:

$S = \pi r (r+l)$

$S \approx 3.1416 \cdot 7.958 \cdot ( 7.958+21.5251 )$

$\approx 3.1416 \cdot 7.958 \cdot 29.4831$

$\approx 737$

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