单独假设表述一。菱形是平行四边形，它的对角和邻角互为补角。从这个事实和表述一单独可以得出

，，,．

根据菱形的定义，它的所有边都是相等的。通过替换,

．

所有边的比例和所有角的相等都成立，所以相似性陈述成立。

单独假设表述二。构造菱形的对角线，如下所示:

在每个菱形中，对角线是彼此的垂线平分线。如果

然后

自时，两个角都是对的，根据边角-边角相似度定理可得

，

相似的是，

．

通过类似的论证，

，

通过角度加法，

．

与表述一单独一样，两个菱形中一组同位角的相等导致两个菱形相似。

每个表述都给出了菱形的一条对角线的长度。知道一条对角线是不足以给出菱形的周长的。

知道两条对角线的长度，如果两种表述都成立，就足以确定周长。问题中的菱形及其对角线如下所示:

如图所示，这条对角线是垂直的，它们也是彼此的平分线。从已知的长度可以得出而且,所以可以用勾股定理计算。周长是4倍，因为菱形的所有边都相等。

要证明两个图形相似，必须证明它们的同位角相等，它们的同位边成比例。

假设两种说法都成立。我们通过检查两种情况来证明它们提供的信息不足。

如果梯形梯形,然后而且，则两个表述的条件都满足;而且，由于梯形是相等的，所以它们也是相似的。

现在研究等腰梯形下面，其中，，,在底座上的位置是这样的而且．

自而且,四边形是平行四边形，和；同样的,．因此,梯形也是等腰的，两种表述的条件都满足。但是，对应的边并不成比例，因为,但；因此，梯形并不相似。

要证明两个图形相似，必须证明它们的同位角相等，它们的同位边成比例。

一个菱形的四个边都是相等的，所以很容易得出两个菱形的对应边是成比例的，不管它们是否相似;因此证明同位角是全等的是充分必要的。同样，由于菱形是平行四边形，对角相等，连续角互补——也就是说，它们的角是总和．因此，证明正义是必要和充分的一个一对相等的同位角。

这两个表述加在一起没有给出菱形的任何角的度数。因此，它们合在一起并不能回答它们是否相似的问题。

要证明两个图形相似，必须证明它们的同位角相等，它们的同位边成比例。

一个菱形的四个边都是相等的，所以很容易得出两个菱形的对应边是成比例的，不管它们是否相似;因此，证明同位角相等是必要且充分的。同样，由于菱形是平行四边形，对角相等，连续角互补——也就是说，它们的角是总和．因此，证明正义是必要和充分的一个一对相等的同位角。

单独假设表述一。是一个角，所以任何与它相邻的角，包括，是它的补充，也就是说，角度测量的是总数．这使得一个角。它在菱形上的同位角是，这是一个角。自而且是不一致的，那么菱形菱形．(注意，可以证明菱形是相似，但正确的说法是菱形菱形．)

表述二单独不能提供有用的信息;菱形面积之间的关系是不相关的。

要证明两个图形相似，必须证明它们的同位角相等，它们的同位边成比例。

一个菱形的四个边都是相等的，所以很容易得出两个菱形的对应边是成比例的，不管它们是否相似;因此，证明同位角相等是必要且充分的。同样，由于菱形是平行四边形，对角相等，连续角互补——也就是说，它们的角是总和．因此，证明正义是必要和充分的一个一对相等的同位角。

单独假设表述一。而且不是同位角，所以它们相等并不能证明菱形相似;然而，这也不能证明它们不相似;例如，两个正方形都是有四个直角的菱形，所以它们是相似的，符合这个条件。

单独假设表述二。而且是同一菱形的两个角，所以如果没有关于另一个菱形的信息，就不能证明或否定相似性。

现在假设这两个表述。而且是菱形的连续角；菱形是平行四边形，度数是角的总和．从表述二，它们是相等的，所以每一个都可以测量．自从表述一，同样的措施．因为每个平行四边形至少有一个直角，所以每个平行四边形都有四个直角。因此，同位角相等，所以菱形是相似的。

要证明两个图形相似，必须证明它们的同位角相等，它们的同位边成比例。

我们通过检验两种情况，证明表述1单独提供了不充分的信息。

案例1:梯形梯形,一个角。

等腰梯形的一对底角相等，所以，因为措施，也一样．梯形的边角有量值，其和为,所以而且测量．通过同位角的同余，,所以措施，则满足表述1的条件。此外，两个相等的三角形也是相似的，所以是梯形梯形．

案例2:检查下图，其中．请注意，这些一致的上基已经相互叠加:

梯形是等腰的，因为它们的底角相等;同时，满足表述1的条件。然而,,但．这些边不成比例，所以梯形不相似。

单独假设表述二。两个边长符合上述条件的同余梯形也是相似的。但是看看这张图，其中，,．请注意，一致的上基已相互叠加:

表述二的条件满足，但是，所以梯形不相似。

现在假设两个表述都成立。如前所述，由表述一可知，所有同位角都相等。而且，由相等的除法性质可以得出

还有待证明也等于上面的比值。如果是对角线而且构造,而且形成;自而且，根据边角-边相似定理，．由此可见，由角度相加，自，因此，．根据角-角公设，另外两个三角形是相似的，即，-由此可见．因此，梯形的四条边都成比例，梯形是相似的。

要证明两个图形相似，必须证明它们的同位角相等，它们的同位边成比例。

假设两种说法都成立。我们通过检查两种情况来证明它们提供的信息不足。

案例1:梯形梯形,然后而且，则两个表述的条件都满足;而且，由于梯形是相等的，所以它们也是相似的。

现在研究等腰梯形下面，其中，，,在底座上的位置是这样的而且．

自而且,四边形是平行四边形，和；同样的,．因此,梯形也是等腰的。同样，根据同位角定理，而且，则满足两个表述的条件。但是，对应的边并不成比例，因为,但；因此，梯形并不相似。

相似的矩形(或任何形状)是相同的形状，但可以是不同的大小。这意味着它们的边长都遵循一个共同的比例;如果一对对应的边遵循2:1的比例，那么所有对应的边必须遵循相同的比例。

表述一给出了周长和一条边．

表述二给出了的面积和边长．

我们可以求出两个矩形的所有边，但是我们需要两个表述。一旦我们有了所有的边长，我们就可以比较它们是否遵循相同的比例。

如果周长是16，一条边是3，我们可以用下面的方法找到另一条边:

如果面积为44，边长为6，另一侧可以通过以下方式找到:

比较两个矩形的边长比，看两个矩形是否相似:

因此，矩形是不相似的。