GMAT数学:理解幂和根

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问题21:理解力量和根源

评估 $\left (625^{\frac{1}{2} } \right )^{\frac{1}{2} }$ 。

可能的答案:

$-\frac{1}{5}$

表达式不是实数。

$\frac{1}{5}$

正确答案:

解释：

$\left (625^{\frac{1}{2} } \right )^{\frac{1}{2} } =\left ( \sqrt{625}\right )^{\frac{1}{2} } = \left ( 25\right )^{\frac{1}{2} }= \sqrt{25} = 5$

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问题22:理解力量和根源

评估 $\left (-256^{\frac{1}{2} } \right )^{\frac{1}{2} }$ 。

可能的答案:

$-\frac{1}{4}$

$\frac{1}{4}$

表达式不是实数。

正确答案:

表达式不是实数。

解释：

$256 ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{256} = 16$ ,所以

$\left (-256^{\frac{1}{2} } \right )^{\frac{1}{2} } = \left (-16\right )^{\frac{1}{2} } = \sqrt{-16}$

然而,没有实数平方根。表达式不等于实数。

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问题23:理解力量和根源

下面哪个是等价的 $\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}}$ ？

你可能会认为要积极。

可能的答案:

$\sqrt[64]{x}$

$\sqrt{x}$

$\sqrt[7]{x}$

$-\sqrt{x}$

$\sqrt[12]{x}$

正确答案:

$\sqrt[12]{x}$

解释：

将根转换为分数指数，然后返回，如下所示:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{x}} = \sqrt[3]{ x^{\frac{1}{4}}} = \left ( x^{\frac{1}{4}} \right ) ^{\frac{1}{3}}= x ^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{12}}= \sqrt[12]{x}$

报告错误

问题24:理解力量和根源

评估 $\left (1,296^{\frac{1}{3} } \right )^{\frac{1}{2} }$ 。

可能的答案:

$\sqrt[5]{1,296}$

1,296

正确答案不在其他答案中。

$216 \sqrt[3]{6}$

$\sqrt[3]{36}$

正确答案:

$\sqrt[3]{36}$

解释：

$1,296 = 6 ^{4}$ ,所以

$\left (1,296^{\frac{1}{3} } \right )^{\frac{1}{2} } = \left [ \left (6 ^{4 } \right )^{\frac{1}{3} } \right ]^{\frac{1}{2} } = 6 ^{4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} =6 ^{ \frac{2}{3} }$

对于所有整数 M,N 而且都是正碱，

$a^{ \frac{M}{N}} = \sqrt[N]{a^{M}}$ 通过定义。所以设置

a = 6, M = 2, N = 3 ：

$\left (1,296^{\frac{1}{3} } \right )^{\frac{1}{2} }=6 ^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{6 ^{2}} = \sqrt[3]{36}$

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问题25:理解力量和根源

通过使分母合理化来简化:

$\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}$

可能的答案:

$\frac{-1+\sqrt{2}- \sqrt{3}+\sqrt{6} } { 4}$

$\frac{-1- \sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{6} } { 2}$

$\frac{-1 +\sqrt{6} } { 4}$

$\frac{-1+\sqrt{2}- \sqrt{3}+\sqrt{6} } { 2}$

$\frac{-1 +\sqrt{6} } { 2}$

正确答案:

$\frac{-1- \sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{6} } { 2}$

解释：

分子分母同时乘以分母的共轭，也就是 $1-\sqrt{3}$ ：

$\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}$

$=\frac{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}$

$=\frac{ 1 \cdot 1-1 \cdot \sqrt{3}+ \sqrt{2} \cdot 1-\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} { 1^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{1- \sqrt{3}+ \sqrt{2} -\sqrt{6} } { 1-3}$

$=\frac{1+ \sqrt{2} - \sqrt{3}-\sqrt{6} } { -2}$

$=\frac{-1- \sqrt{2} + \sqrt{3}+\sqrt{6} } { 2}$

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问题26:理解力量和根源

如果 $\sqrt[3]{4^{6}.8^{3}} = 2^{m}$ ，什么是价值？

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们需要把表达式写成2的幂形式米：

$\sqrt[3]{4^{6}.8^{3}} = \sqrt[3]{(2^{2})^{6}.(2^{3})^{3}} = \sqrt[3]{2^{12}.2^{9}}$

$\sqrt[3]{2^{21}}=(2^{21})^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{21}{3}}=2^7$

因此正确答案是7。

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问题27:理解力量和根源

$(\sqrt{75}+\sqrt{108})^{\sqrt[3]{8}}=$

可能的答案:

$183+22\sqrt{3}$

363

$183+60\sqrt{3}$

183

$194\sqrt{3}$

正确答案:

363

解释：

$(\sqrt{75}+\sqrt{108})^{\sqrt[3]{8}}=(\sqrt{75}+\sqrt{108})^{2}$

$=(\sqrt{75})^{2}+(\sqrt{108})^{2}+2\times \sqrt{75}\times \sqrt{108}$

$=75+108+2\times \sqrt{3(5^{2})}\times \sqrt{3(6^{^{2}})}$

$=75+108+2\times5\sqrt{3}\times6\sqrt{3}$

$=183+60(\sqrt{3})^{2}$

$=183+60\times3$

=183+180

=363

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问题28:理解力量和根源

评估 $24 ^{\frac{2}{3}}$ ，如果适用，将结果表示为简化的自由基。

可能的答案:

$48\sqrt{6}$

正确答案不在其他答案中。

$4 \sqrt[3]{9}$

正确答案:

$4 \sqrt[3]{9}$

解释：

对于所有整数 M,N 而且都是正碱，

$a^{ \frac{M}{N}} = \sqrt[N]{a^{M}}$ 通过定义。

集 a = 24, M = 2, N = 3 ：

$24^{ \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{24^{2}} = \sqrt[3]{576} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{9}= 4 \sqrt[3]{9}$

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问题29:理解力量和根源

下面哪个数字是无理数?

可能的答案:

$\sqrt{4}$

$\sqrt{16}$

没有其他答案。

$\sqrt[3]{8}$

$\sqrt{2}$

正确答案:

$\sqrt{2}$

解释：

如果一个数的平方根里面的数不是完全平方，那么这个数的平方根就是无理数。因为2不是完全平方， $\sqrt{2}$ 是不理性的

$\sqrt[3]{8}$ 是理性的，因为是一个正立方体。（ $2\times2\times2 = 8$ ）

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问题4:如何把公因数分解出平方

下列哪个表达式等于

$\sqrt{(45)(9)+(27)(36)}$

可能的答案:

$9\sqrt{19}$

$7\sqrt{17}$

$9\sqrt{17}$

$7\sqrt{15}$

$9\sqrt{15}$

正确答案:

$9\sqrt{17}$

解释：

$\sqrt{(45)(9)+(27)(36)}$

在简化平方根时，考虑它的每个组成部分的因子:

$\sqrt{(3^2)\times5\times(3^{2})+(3^{3})(2^2)(3^2)}$

组合相似的术语:

$\sqrt{5(3^4)+(2^2)(3^5)}$

去掉公因数， 3^4 ：

$\sqrt{(3^4)\times(5+3\times(2^2))}$

把 $\sqrt{3^4}$ 在方程之外 3^2 ：

$(3^2)\sqrt{5+12}=9\sqrt{17}$

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