GMAT数学:DSQ:理解幂和根

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例子问题

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问题291:算术

是实数。是正的、负的还是零的?

声明1: 2x - 5 > 0

声明2: $\frac{1}{2}x^{3} -1> 0$

可能的答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述单独都能充分解题。

正确答案:

两个表述单独都能充分解题。

解释：

如果 2x - 5 > 0 ,然后 2x > 5 , $x > \frac{5}{2} > 0$ ,所以必须是正的。

如果 $\frac{1}{2}x^{3} -1> 0$ ,然后 $\frac{1}{2}x^{3} > 1$ ， $x^{3} > 2$ ．而且 $x> \sqrt[3]{2}$ ,所以,必须是正的。任何一种说法都足以肯定地回答这个问题。

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例子问题1:数字的幂与根

尽可能简化这个表达式:

$\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{54}$

可能的答案:

$3 \sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{198}$

表达式已经简化了

$4 + 4\sqrt[3]{2} - 3 \sqrt[3]{6}$

$9 \sqrt[3]{2}$

正确答案:

$3 \sqrt[3]{2}$

解释：

$\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{128} - \sqrt[3]{54}$

$= \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2}$

$= 2 \sqrt[3]{2} +4 \sqrt[3]{2} -3 \sqrt[3]{2}$

$=\left ( 2+4-3 \right ) \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2}$

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示例问题3:数字的幂与根

想象一个整数的个位数大于5。它的个位数是多少?

的个位数和的个位数相等吗 $y^{2}$ ．

的个位数和的个位数相等吗 $y^{3}$ ．

可能的答案:

两个表述一起都能充分解题，但两个表述单独都不充分。

两个表述一起不能充分回答这个问题。

每个表述单独都能充分解题。

表述二单独充分解题，但另一个表述单独不充分。

表述一单独充分解题，但另一个表述单独不充分。

正确答案:

表述一单独充分解题，但另一个表述单独不充分。

解释：

(1)大于5且其平方项的个位数等于其自身的唯一个位数整数是6。这个表述是充分的。

(2)有两个个位数整数，其中立方项的个位数等于整数本身:6和9。这种说法是不充分的。

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问题#301:算术

12的四次方是多少?

可能的答案:

1,728

20,736

144

28,380

正确答案:

20,736

解释：

12的四次方是12⁴．如果你能把这些词翻译成相应的数学形式，你就完成了，因为实际的计算应该由你的计算器来完成。它会告诉你的 $12\cdot 12\cdot 12\cdot 12=20,736$ ．考试中没有足够的时间让你们徒手做。

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示例问题5:数字的幂与根

计算的五次方根：

(1)的平方根是 3125 ．

(2)的十分方根是．

可能的答案:

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)ALONE是不充分的。

表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)ALONE不充分。

两个表述合在一起是充分的，但两个表述单独都不是充分的。

两个表述一起不充分。

每个表述ALONE都是充分的。

正确答案:

每个表述ALONE都是充分的。

解释：

使用声明(1):

$m^{\frac{1}{5}}= (m^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{5}}=(3125)^{\frac{2}{5}}=25$

表述(1)ALONE是充分的。

使用声明(2):

$m^{\frac{1}{5}}= (m^{\frac{1}{10}})^{2}=(5)^{2}=25$

表述2 ALONE是充分的。

因此，EACH表述ALONE是充分的。

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示例问题6:数字的幂与根

是正实数。正确或错误:是有理数。

声明1: $N ^{3}$ 是无理数。

声明2: $N ^{4}$ 是无理数。

可能的答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述单独都能充分解题。

解释：

有理数的整数幂，作为有理数的乘积，它本身必须是有理数。两个表述单独断言这种权力是非理性的，相反，两个表述单独证明非理性的。

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示例问题7:数字的幂与根

N > 1 ．正确或错误:是理性的。

声明1: $\left (N + 1 \right )^{2}$ 是理性的。

声明2: $\left (N - 1 \right )^{2}$ 是理性的。

可能的答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

表述一单独不能充分证明是或不是理性的。例子:

如果 N = 2 ,然后 $\left (N+ 1 \right )^{2} = \left (2+ 1 \right )^{2} = 3^{2} = 9$

如果 $N = \sqrt{2} - 1$ ,然后 $\left (N+ 1 \right )^{2} = \left ( \sqrt{2}-1 + 1 \right )^{2} =( \sqrt{2})^{2} = 2$

在这两种情况下, $\left (N + 1 \right )^{2}$ 是合理的，但在一种情况下，是理性的，在另一方面，是非理性的。

类似的论证表明表述二是不充分的。

假设两个表述都为真。 $\left (N + 1 \right )^{2}$ 而且 $\left (N - 1 \right )^{2}$ 都是理性的，所以他们的区别也是:

$\left (N + 1 \right )^{2} - \left (N - 1 \right )^{2}$

$=\left ( N ^{2}+ 2N + 1 \right ) - \left ( N ^{2}- 2N + 1 \right )$

$= N ^{2}- N ^{2}+ 2N +2N + 1 -1$

= 4N

是理性的，所以在除法下的封闭， $4N \div 4 = N$ 是理性的。

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例子问题1:Dsq:理解力量和根源

N > 1 ．正确或错误:是理性的。

声明1: $\sqrt{N+1}$ 是非理性的。

声明2: $\sqrt{N-1}$ 是理性的。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

表述一单独不能充分证明理性或非理性的。例子:

如果 N = 4 ,然后 $\sqrt{N+1} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

如果 $N = \pi -1$ ,然后 $\sqrt{N+1} = \sqrt{(\pi -1)+1} = \sqrt{\pi}$

在这两种情况下, $\sqrt{N+1}$ 是不合理的，但只有一种情况，是理性的。

单独假设表述二。 $\sqrt{N-1}$ 是有理数，通过乘法下的有理数闭合，

$\sqrt{N-1} \cdot \sqrt{N-1} = N - 1$ 是理性的。有理数在加法下是封闭的，所以和

N - 1+ 1 = N

是理性的。

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示例问题9:数字的幂与根

是正实数。正确或错误: $\sqrt{N}$ 是有理数。

声明1:是非理性的。

声明2: $\sqrt[4]{N}$ 是非理性的。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

如果 $\sqrt{N}$ 是有理数，因为两个有理数的乘积是有理数， $\sqrt{N} \cdot \sqrt{N} = N$ 是理性的。如果仅假设表述1，则，since是不合理的, $\sqrt{N}$ 必须是非理性的。

单独假设表述二，注意

$\left (\sqrt[4]{N} \right )^{2}= \left (N ^{\frac{1}{4}} \right )^{2}= N ^{\frac{1}{4} \cdot 2} = N ^{\frac{1}{2} } = \sqrt{N}$

换句话说, $\sqrt[4]{N}$ 是的平方根 $\sqrt{N}$ ．因为有理数和无理数都有无理数平方根， $\sqrt[4]{N}$ 不理性并不能证明或反驳这一点 $\sqrt{N}$ 是理性的。

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示例问题10:数字的幂与根

是正实数。正确或错误: $\sqrt{N}$ 是有理数。

声明1: $\sqrt[3]{N}$ 是有理数。

声明2: $\sqrt[4]{N}$ 是有理数。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

表述1单独提供的信息不充分。是一个有理数立方根，，和有理数平方根，．是一个有理数立方根，，而是一个无理数平方根。

现在单独假设表述二。

$\left (\sqrt[4]{N} \right )^{2}= \left (N ^{\frac{1}{4}} \right )^{2}= N ^{\frac{1}{4} \cdot 2} = N ^{\frac{1}{2} } = \sqrt{N}$

换句话说, $\sqrt{N}$ 是的平方 $\sqrt[4]{N}$ ．有理数在乘法下封闭，所以如果 $\sqrt[4]{N}$ 是理性的, $\left (\sqrt[4]{N} \right )^{2}= \sqrt{N}$ 是理性的。

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