矩形的面积是其长度和宽度的乘积;

对角线将正方形分成两个45-45-90三角形，它们的边长比为。因此，对角线是边长。

有两种非常简单的方法来解决这个问题，这两种方法都需要你看到这实际上是一个三角形问题。

第一种方法是最快的。如果你能认出正方形的对角线等于a三角形，你们可以回想一下三角形的边长比为。因此:

解决这个问题的第二种方法是使用勾股定理:

在哪里和三角形的腿长是和斜边的长度。在这种情况下，我们要解出对角线，也就是它形成的三角形的斜边，所以我们要解出：

再一次，我们得到。

根据定义，正方形的四条边都是一样长的。如果一条边的长度是，正方形的长度和宽度都是。正方形的对角线就是直角三角形的斜边，另外两条边分别是长度和宽度，所以我们可以用勾股定理来计算对角线的长度:

根据我们所知道的，我们可以用这个简单的公式计算出正方形的边长:,在那里正方形的对角线是和吗是边的长度。所以这个正方形的边长是2。因此圆的半径是它的一半，也就是1。现在我们知道了半径，我们可以计算圆的面积,在那里是圆的半径。

为了求出正方形的面积，我们需要算出，边长。这可以通过计算圆的直径，也就是正方形的对角线来实现。我们可以这样做:

因此半径是2，直径是4。根据公式，我们现在知道正方形的对角线也是4,在那里对角线的长度是正方形的边长，我们可以算出边长，是多少。因此，面积是边长的平方，也就是8。我们要找的最后比例是或。

根据给定的正方形面积，我们可以算出这个正方形的边长，也就是面积的平方根，也就是7。利用方形对角线的公式，,在那里对角线的长度是多少边的长度。因此，对角线的长度为。在这种情况下，由于正方形在圆内，圆的直径等于正方形的对角线。因此，我们可以求出圆的周长,或。我们只需要将结果除以2，因为我们只想要半圆的周长，并加上对角线的长度，从而“关闭”半圆。最后的答案是。

为了求出对角线的长度，你可以用勾股定理，或者认识到正方形的对角线实际上是直角等腰三角形的斜边。因此，使用捷径，你知道对角线是边长乘以。因此，答案是:

给定一个正方形的面积，求它的周长，取面积的平方根，求它的边长;然后，把这个边长乘以4。

是一个完全平方的三叉

所以它的平方根是，边长。

把这个乘以4得到周长:

把三角形切成两半得到一个直角三角形，其中对角线是斜边，另外两条腿是正方形的两条边。利用勾股定理，我们可以解出三角形的其他边。

因为正方形的两边彼此相等，,因此:

求正方形的面积:

用腿作为其中一方