GMAT数学:DSQ:计算锐角/钝角三角形的角度

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例子问题

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例子问题381:数据充分性问题

在 $ABC \ bigtriangleup$ ,如果 $AB = k$ ， $公元前= k + 3$ 和 $AC = m$ 的三个角中的哪一个 $三角形ABC \$ 最大的度数是多少?

（1） $k = 3$

（2) $m = k + 4$

可能的答案:

表述(1)和(2)一起是不充分的。

表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)单独不充分。

每个表述单独是充分的。

两个表述合在一起是充分的，但两个表述单独都不是充分的。

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)单独不充分。

正确答案:

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)单独不充分。

解释：

l昂的一面我S对着最大角度f或者所有三角形。

(1)代入 $k$ 意味着 $AB = 3$ 和 $公元前= 5$ 。但是价值 $米$ 给于边 $交流$ 仍然未知 $\ rightarrow$ 不够的。

(2)自 $k + 3 > k$ ，则最长的边必须是任意一条 $k + 3$ 或 $米$ 。所以，知道是否 $m > k + 3$ 是充分的。

如果 $m = k + 4$ ，知道 $k + 4 > k + 3$ ，

然后 $m > k + 3$ $\ rightarrow$ 足够了。

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例子问题2:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

三角形包含 $110^{\circ}$ 角。这个三角形中其他的角是什么?

这个三角形是等腰三角形。

这个三角形的周长是12。

可能的答案:

每个表述单独是充分的。

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)单独不充分。

表述(1)和(2)一起不足以回答所问的问题，需要额外的数据。

两个表述合在一起是充分的，但两个表述单独都不是充分的。

表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)单独不充分。

正确答案:

表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)单独不充分。

解释：

表述一:等腰三角形有两个等角。因为三角形的内角和总是等于 $180^{\circ}}$ 时，其他边可能的角度只有 $35^{\circ}$ 。

表述2:这没有提供任何与问题相关的信息。

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例子问题3:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

Triangle_b

注:图非按比例绘制。

$m \angle A = 46 ^{\circ }$ 。是什么 $m \angle 1$ ？

声明1: $\overline{AB} \cong \overline{AC}$

声明2: $m \angle B = 67 ^{\circ }$

可能的答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

解释：

如果 $\overline{AB} \cong \overline{AC}$ ，则根据等腰三角形定理， $m \angle B = m \angle 2$ 。因为三角形的长度之和是180度，

$m \angle A + m \angle B + m \angle 2 = 180$

经过代换，

$46 + m \angle 2 + m \angle 2 = 180$

$46 + 2m \angle 2 = 180$

$2m \angle 2 = 134$

$m \angle 2 = 67$

自 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 形成线性对，

$m \angle 1 + m \angle 2 = 180$ ,

$m \angle 1 = 180 - m \angle 2 = 180 - 67 = 113^{\circ }$

如果 $m \angle B = 67 ^{\circ }$ ，则根据三角形外角定理，

$m \angle 2 = m \angle A + m \angle B = 46 + 67 = 113^{\circ }$

因此，任何一个表述本身都能提供充分的信息。

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问题4:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

在 $\triangle PQR$ 上面，是什么值？

（1） x=1.5y

（2) x+y=112.5

可能的答案:

表述(2)ALONE是充分的，但表述(1)单独不充分。

表述(1)和(2)一起是不充分的。

两个表述合在一起是充分的，但两个表述单独都不是充分的。

表述(1)ALONE是充分的，但表述(2)单独不充分。

每个表述单独是充分的。

正确答案:

每个表述单独是充分的。

解释：

这里有一个隐含条件: 2x+y=180 。因此，对于每个表述，我们有两个未知数和两个方程。在这种情况下，我们可以猜测，我们将能够找到的值通过单独使用每个语句。最好通过实际解题来检验。

对于表述(1)，我们可以代入 1.5y 成 2x+y=180 。现在我们有 4y=180 ，这意味着 y=45 。

对于表述(2)，我们可以将方程改写为 x=112.5-y 然后代入 2x+y=180 ，使它

$2\cdot \left ( 112.5-y \right )+y=180$

然后我们就能解出并获得 y=45 。

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例5:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

是三角形 $\Delta ABC$ 锐角，对吧，还是钝角?

声明1: $m\angle A + m\angle B = 120^{\circ }$

声明2: $m\angle B + m\angle C = 110^{\circ }$

可能的答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

每一个表述都允许我们用180度减去另外两个角的和来计算其中一个角的度数。

从表述一来看:

$m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ }$

$120^{\circ } + m\angle C = 180^{\circ }$

$m\angle C = 60^{\circ }$

从表述2中:

$m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^{\circ }$

$m\angle A + 110^{\circ } = 180^{\circ }$

$m\angle A =70^{\circ }$

任何一种表述单独都不足以回答这个问题，因为任何一种表述都留下了足够的角度测量来允许另一个三角形是直角或钝角。但这两个表述结合起来就可以计算了 $m\angle B$ ：

$70 ^{\circ }+ m\angle B + 60^{\circ }= 180^{\circ }$ ：

$m\angle B = 50 ^{\circ}$

这让我们得以证明 $\Delta ABC$ 严重。

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例子问题6:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

是三角形 $\Delta ABC$ 锐角，对吧，还是钝角?

声明1: $\angle A + \angle B = 80^{\circ }$

声明2: $\angle B+ \angle C = 110^{\circ }$

可能的答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

从表述2中:

$m \angle A +m \angle B + m \angle C = 180^{\circ }$

$80 ^{\circ }+ m \angle C = 180^{\circ }$

$m \angle C = 100^{\circ } > 90^{\circ}$

这足以证明三角形是钝角。

由表述二我们可以计算 $m \angle A$ ：

$m \angle A + 110 ^{\circ }= 180^{\circ }$

$m \angle A =70 ^{\circ }$

我们提出了两个案例来证明这是不够的信息来回答这个问题:

$m \angle A =70 ^{\circ }, m \angle B = 90^{\circ } , m \angle C = 20 ^{\circ}$ -直角三角形。

$m \angle A =70 ^{\circ },m \angle B = 80^{\circ } , m \angle C = 30 ^{\circ}$ -锐角三角形。

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示例问题7:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

是 $\Delta ABC$ 锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形?

声明1: $\angle A$ 是互补的 $\angle C$ 。

表述二:三角形恰好有两个锐角。

可能的答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

如果我们单独假设表述一，那 $\angle A$ 是互补的 $\angle C$ ，那么根据定义， $m \angle A + m \angle C = 90 ^{\circ }$ 。自 $m \angle A+ m \angle B + m \angle C = 180 ^{\circ }$ ，

$m \angle B +m \angle A+ m \angle C = 180 ^{\circ }$

$m \angle B +90 ^{\circ } = 180 ^{\circ }$

$m \angle B +90 ^{\circ } -90 ^{\circ } = 180 ^{\circ }-90 ^{\circ }$

$m \angle B =90 ^{\circ }$

这使得 $\angle B$ 一个直角和 $\Delta ABC$ 一个直角三角形。

然而，表述二单独是不充分的，因为恰好有两个锐角的三角形既可以是直角也可以是钝角。

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例8:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

注:图非按比例绘制

参照上图。是 $\Delta ABC$ 等边三角形?

声明1: $m \widehat{ABC} = 240 ^{\circ }$

声明2: $m \widehat{ACB} = 260 ^{\circ }$

可能的答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

三角形的三个角都是圆上的内角，每个角的长度都是它截弧长度的二分之一。三角形要等边，每个角都要测量 $60^{\circ }$ , $m \widehat{AB} = m \widehat{BC} =m \widehat{AC} =120 ^{\circ }$ 。

文中提到的每条弧都是一条大弧对应着一条小弧，所以，具体地说， $m \widehat{A C}= 360 ^{\circ } - m \widehat{ABC}$ 和 $m \widehat{AB} = 360 ^{\circ } - m \widehat{ACB}$ 。

仅从表述一，我们可以计算出:

$m \widehat{A C}= 360 ^{\circ } - m \widehat{ABC} = 360 ^{\circ }- 240 ^{\circ } = 120 ^{\circ }$

这既不能证明也不能反驳 $\Delta ABC$ 是等边的，因为一个小弧可以测量 $120 ^{\circ }$ 而另外两个不这样做。

单独从表述二，我们可以计算

$m \widehat{AB} = 360 ^{\circ } - 260^{\circ } = 100 ^{\circ }$

我们知道 $\Delta ABC$ 不是等边的。

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问题9:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

注:图非按比例绘制

参照上图。是 $\Delta ABC$ 等边三角形?

声明1: $m \widehat{AB} = 120 ^{\circ }$

声明2: $m \widehat{BC} = 140 ^{\circ }$

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

三角形的三个角都是圆上的内角，每个角的长度都是它截弧长度的二分之一。三角形要等边，每个角都要测量 $60^{\circ }$ , $m \widehat{AB} = m \widehat{BC} =m \widehat{AC} =120 ^{\circ }$ 。这既不能由表述一证明也不能由表述一证明，因为一条弧可以测量 $120 ^{\circ }$ 没有其他两个这样做;但是，仅凭表述二就可以证明它是错的。

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例子问题10:Dsq:计算锐角/钝角三角形的角度

是 $\Delta ABC$ 锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形?

表述一:恰好有两个锐角。

表述二:三角形顶点处的外角都是急性的。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

表述一告诉我们这个三角形不是直角就是钝角，仅此而已。

表述二告诉我们这个三角形是钝角。三角形的外角与其邻角的内角互补。由于一个锐角的补充是钝角，这意味着三角形一定有一个钝角。

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