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SSAT高级数学:如何求圆的面积

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例子问题

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例子问题1:如何求圆的面积

给出上图中图形的面积。

可能的答案:

$12 \pi$

$16 \pi$

$8 \pi$

$6 \pi$

$24 \pi$

正确答案:

$24 \pi$

解释：

该图是一个半径为8的圆的扇形;部门有程度度量 $180 ^{\circ } - 45 ^{\circ }= 135 ^{\circ }$ ．扇形的面积为

$A = \frac{ 135^{\circ }}{360 ^{\circ }} \cdot \pi r^{2}$

$A = \frac{ 135^{\circ }}{360 ^{\circ }} \cdot \pi \cdot 8^{2}$

$A = \frac{ 3}{8} \cdot 64 \pi$

$A = 24 \pi$

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例子问题1:几何

给出上图的面积。

可能的答案:

$11\pi$

$\frac{11\pi}{2}$

$\frac{121\pi}{4}$

$\frac{121\pi}{8 }$

$\frac{121\pi}{2 }$

正确答案:

$\frac{121\pi}{8 }$

解释：

这个图形是一个半圆——圆的一半——半径为5.5 $\frac{11}{2}$ ．它的面积是半径平方的1 / 2乘以 $\pi$ ——也就是说,

$A = \frac{1}{2} \pi r^{2}$

$A = \frac{1}{2} \pi \left (\frac{11}{2} \right )^{2}$

$A = \frac{1}{2} \pi \cdot \frac{121}{4}$

$A = \frac{121\pi}{8 }$

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示例问题3:如何求圆的面积

坐标平面上的圆有方程

$x^{2} + y^{2} = 66$ ．

下列哪个选项给出了圆的面积?

可能的答案:

$\pi \sqrt{66}$

$2\pi \sqrt{66}$

$66\pi$

$33\pi$

$132\pi$

正确答案:

$66\pi$

解释：

在坐标平面上圆的方程是

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，

在哪里是半径。因此，在这个方程中，

$r^{2} = 66$ ．

圆的面积可以用公式求出来

$A = \pi r^{2}$ ，

我们把66代入 $r^{2}$ 收益率,

$A = 66 \pi$ ．

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示例问题4:如何求圆的面积

给出一个30-60-90三角形的周长为11的圆的面积。

可能的答案:

$\frac{484 \pi}{3}$

$242 \pi$

$\frac{121 \pi}{2}$

$121 \pi$

$\frac{121 \pi}{3}$

正确答案:

$121 \pi$

解释：

如果一个直角三角形内切在一个圆内，那么被直角截短的圆弧就是一个半圆，使三角形的斜边成为一个直径。

30-60-90三角形的斜边长度是它的短边长度的两倍，所以这个三角形的斜边长度是11的两倍，也就是22。因此圆的直径是22，半径是它的一半，也就是11。因此圆的面积是

$A = \pi r^{2} = \pi \cdot 11 ^{2} = 121 \pi$

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例子问题1:几何

求出一个等边三角形的外缘圆的面积与内嵌在同一三角形内的圆的面积之比。

可能的答案:

$3\sqrt{2}:1$

4:1

3:1

$2\sqrt{3}:1$

$2\sqrt{2}:1$

正确答案:

4:1

解释：

检查下面的图表:

如果内切圆的半径是三角形的(垂直的)半径，而外切圆的半径是相邻顶点的半径，则形成一个直角三角形。根据对称性，可以看出这是一个30-60-90度三角形，然后，

$BO = 2 \cdot AO$

如果我们让 r = AO ，内切圆的面积为 $A = \pi r^{2}$ ．

然后 BO = 2r ，被限定圆的面积为 $\pi\left ( 2r \right )^{2} = \pi \cdot 4r^{2} = 4 \pi r^{2} = 4A$

因此，面积的比例是4:1。

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示例问题6:如何求圆的面积

求周长为54的等边三角形周长的圆的面积。

可能的答案:

正确答案不在其他回答中。

$216 \pi$

$27 \pi$

$108 \pi$

$54 \pi$

正确答案:

$108 \pi$

解释：

一个周长为54的等边三角形的边长是它的三分之一，也就是18。

构造这个三角形和它的外接圆，以及一条对边的垂线平分线和一条对边端点的半径:

三角形每边的度数都是18，所以 AB = 9 ．同样，由这些线段组成的三角形，根据对称性，是一个30-60-90度的三角形。根据30-60-90定理，

$BO = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3}$

而且 $AO = 2 \cdot BO = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ ．

后者是半径，所以这个圆的面积是

$A = \pi r^{2} = \pi (6 \sqrt{3})^{2} = \pi \cdot 6 ^{2} (\sqrt{3})^{2} = 36 \cdot 3 \cdot \pi = 108 \pi$

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示例问题7:如何求圆的面积

一个 $60 ^{\circ }$ 圆的圆心角的弦长为7。给出圆的面积。

可能的答案:

$\frac{49 \pi}{4}$

$98 \pi$

正确答案不在其他回答中。

$14 \pi$

$49 \pi$

正确答案:

$49 \pi$

解释：

下图显示了 $\angle AOB$ 它和它的和弦都符合这一描述 $\overline{AB}$ ：

根据等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是等边的，那么 AB = AO= 7 ．这是半径，所以面积是

$A = \pi r^{2} = \pi \cdot 7^{2}= 49 \pi$

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例子问题1:如何求圆的面积

给出一个圆的面积 30-60-90 长腿有长度的三角形．

可能的答案:

$\frac{121 \pi}{2}$

$\frac{484\pi}{3}$

$242\pi$

$\frac{121 \pi}{3}$

$121 \pi$

正确答案:

$\frac{121 \pi}{3}$

解释：

如果一个直角三角形内切在一个圆内，那么被直角截短的圆弧就是一个半圆，使三角形的斜边成为一个直径。

根据30-60-90定理，30-60-90三角形的短支腿长度等于长支腿长度除以 $\sqrt{3}$ ，所以较短的腿会有长度 $\frac{11}{\sqrt{3}}$ ；斜边的长度是这个长度的两倍，或者

$2 \cdot \frac{11}{\sqrt{3}} = \frac{22}{\sqrt{3}}$ ．

因此圆的直径是 $\frac{22}{\sqrt{3}}$ ；半径是这个的一半，或者 $\frac{11}{\sqrt{3}}$ ．因此圆的面积是

$A = \pi r^{2} = \pi \cdot \left ( \frac{11}{\sqrt{3}} \right ) ^{2} = \frac{121}{3}\cdot \pi = \frac{121 \pi}{3}$

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示例问题9:如何求圆的面积

一个 $90 ^{\circ }$ 圆的圆心角与长度有一个和弦．给出圆的面积。

可能的答案:

$\frac{225 \pi}{2}$

$15 \pi \sqrt{2}$

$225 \pi$

$75 \pi$

$30 \pi \sqrt{2}$

正确答案:

$\frac{225 \pi}{2}$

解释：

下图显示了 $\angle AOB$ 它和它的和弦都符合这一描述 $\overline{AB}$ ：

根据等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是一个斜边为15的45-45-90三角形。根据45-45-90定理，它的每条腿都有一个半径，长度可以通过除以 $\sqrt{2}$ ：

$A O = \frac{AB }{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}}$

因此面积是

$A = \pi r^{2} = \pi \cdot \left ( \frac{15}{\sqrt{2}} \right )^{2} = \pi \cdot \frac{225}{2} =\frac{225 \pi}{2}$

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示例问题10:如何求圆的面积

求出周长为等边三角形内圆的面积．

可能的答案:

$72 \pi$

$48 \pi$

$144 \pi$

$24 \pi$

$96 \pi$

正确答案:

$48 \pi$

解释：

一个周长为72的等边三角形的边长是它的三分之一，即24。

构造这个三角形和它的内接圆，以及一条边的半径——根据对称性，这是一条垂直等分线——和一条到这条边端点的线段:

三角形每条边的度数都是24，所以 AB = 12 ．同样，由这些线段组成的三角形，根据对称性，是一个30-60-90度的三角形。因此,

$BO = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} =4\sqrt{3}$

也就是圆的半径。这个圆的面积是

$A = \pi r^{2} = \pi (4 \sqrt{3})^{2} = \pi \cdot 4 ^{2} (\sqrt{3})^{2} = 16\cdot 3 \cdot \pi= 48\pi$

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