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《高中数学:简化有理表达式

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例子问题

例子问题1:求解有理表达式

简化 $\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-5}{x+3}$

可能的答案:

$\frac{3x^{2}+5x-6}{x^{2}-3x+2}$

$\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

$\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{2}+3x-2}$

$\frac{2x^{2}-5x+6}{x^{2}-2x+3}$

$\frac{3x^{2}-x+7}{x^{2}+2x+2}$

正确答案:

$\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

解释：

这是一个更复杂的形式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}= \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

找出最小公分母(LCD)并将每个分数转换为最小公分母，然后将分子相加。根据需要进行简化。

$\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-5}{x+3}=\frac{x+2}{x-1}\cdot \frac{x+3}{x+3}+\frac{x-5}{x+3}\cdot \frac{x-1}{x-1}$

这相当于 $\frac{(x+2)\cdot (x+3)+(x-5)\cdot (x-1)}{(x+3)\cdot (x-1)}$

简化得到 $\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

报告错误

例子问题1:简化有理表达式

分解简化如下有理表达式:

$\frac{x^2+7x+10}{x+2}\div \frac{x^2+2x-15}{x^2-5x+6}$

可能的答案:

x-2

x-3

x-1

x+1

x+2

正确答案:

x-2

解释：

乘以第二个表达式的倒数:

$\frac{x^2+7x+10}{x+2}\div \frac{x^2+2x-15}{x^2-5x+6}$

$\frac{x^2+7x+10}{x+2}\cdot \frac{x^2-5x+6}{x^2+2x-15}$

分解表达式:

$\frac{(x+5)(x+2)}{x+2}\cdot \frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x+5)}$

去掉常用术语:

$\frac{\mathbf{(x+5)(x+2)}}{\mathbf{x+2}}\cdot \frac{\mathbf{(x-3)}(x-2)}{\mathbf{(x-3)(x+5)}}$

x-2

报告错误

例子问题2:简化有理表达式

将如下有理表达式添加化简:

$3n+1+\frac{1}{3n-1}$

可能的答案:

$\frac{6n^2}{2n-1}$

$\frac{6n^2}{3n-1}$

$\frac{9n^2}{3n-1}$

$\frac{3n^2}{3n-1}$

$\frac{3n^2}{2n-1}$

正确答案:

$\frac{9n^2}{3n-1}$

解释：

从左边的项乘以开始 $\frac{3n-1}{3n-1}$ ：

$3n+1+\frac{1}{3n-1}$

$3n+1 (\frac{3n-1}{3n-1})+\frac{1}{3n-1}$

简化:

$\frac{(3n+1)(3n-1)+1}{3n-1}$

$\frac{9n^2-1+1}{3n-1}$

$\frac{9n^2}{3n-1}$

报告错误

例子问题3:简化有理表达式

简化如下有理表达式:

$\frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

可能的答案:

$\frac{y}{x}$

$\frac{1}{x}$

$\frac{x}{y}$

正确答案:

解释：

首先将分母中的项组合起来:

$\frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

$\frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{x+y}{xy}}$

乘以分母的倒数:

$\frac{x+y}{x} \cdot \frac{xy}{x+y}$

删除类似术语:

$\frac{\mathbf{x+y}}{\mathbf{x}} \cdot \frac{\boldsymbol{x}y}{\mathbf{x+y}}$

报告错误

问题4:简化有理表达式

简化如下有理表达式:

$\frac{n+5+\frac{3}{n+1}}{n-1-\frac{3}{n+1}}$

可能的答案:

$\frac{n+3}{n-1}$

$\frac{n+4}{n-2}$

$\frac{n+3}{n-2}$

$\frac{n+4}{n-1}$

正确答案:

$\frac{n+4}{n-2}$

解释：

的公分母 (n+1) 在分子和分母上:

$\frac{n+5+\frac{3}{n+1}}{n-1-\frac{3}{n+1}}$

$\frac{\frac{(n+5)(n+1)+3}{n+1}}{\frac{(n-1)(n+1)-3}{n+1}}$

乘以分母的倒数:

$\frac{(n+5)(n+1)+3}{n+1}\cdot \frac{n+1}{(n-1)(n+1)-3}$

简化:

$\frac{n^2+6n+8}{n+1}\cdot \frac{n+1}{n^2-4}$

$\frac{(n+4)(n+2)}{n+1}\cdot \frac{n+1}{(n-2)(n+2)}$

去掉常用术语:

$\frac{(n+4)\mathbf{(n+2)}}{\mathbf{n+1}}\cdot \frac{\mathbf{n+1}}{(n-2)(\mathbf{n+2})}$

$\frac{n+4}{n-2}$

报告错误

例5:简化有理表达式

将下面的有理表达式乘化:

$\frac{a^3-b^3}{b^2-a^2} \cdot \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

分解表达式:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)}{(b-a)(b+a)(a^2+ab+b^2)}$

删除类似术语:

$\frac{(a-b)(\mathbf{a^2+ab+b^2})(\mathbf{a+b})}{(b-a)(\mathbf{b+a})(\mathbf{a^2+ab+b^2})}$

$\frac{a-b}{b-a}=\frac{-1(b-a)}{b-a}=-1$

报告错误

例子问题6:简化有理表达式

分解简化如下有理表达式:

$\frac{x^2-11x+24}{x^2-18x+80}\div \frac{x^2-9x+20}{x^2-15x+50}$

可能的答案:

$\frac{x-4}{x-5}$

$\frac{x-4}{x-3}$

$\frac{x-5}{x-4}$

$\frac{x-3}{x-4}$

$\frac{x-3}{x-5}$

正确答案:

$\frac{x-3}{x-4}$

解释：

乘以分母的倒数:

$\frac{x^2-11x+24}{x^2-18x+80}\div \frac{x^2-9x+20}{x^2-15x+50}$

$\frac{x^2-11x+24}{x^2-18x+80}\cdot \frac{x^2-15x+50}{x^2-9x+20}$

因素:

$\frac{(x-8)(x-3)}{(x-8)(x-10)}\cdot \frac{(x-5)(x-10)}{(x-5)(x-4)}$

删除类似术语:

$\frac{(\mathbf{x-8})(x-3)}{(\mathbf{x-8})(\mathbf{x-10})}\cdot \frac{(\mathbf{x-5})(\mathbf{x-10})}{(\mathbf{x-5})(x-4)}$

$\frac{x-3}{x-4}$

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