GMAT数学:代数

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例子问题

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问题58:理解指数

在圆中填上一个数字，使这个多项式为素数:

$x^{2}+ \bigcirc x- 60$

可能的答案:

正确答案:

解释：

如果 $x^{2}+ B x- 60$ 那么质数不就是这种形式的二次三项式吗 $x^{2}+ B x- C$ 它可以因式分解为

(x+m)(x-n)

在哪里 mn = 60 和 m - n = B ．

因此，我们要找的是一个整数不两个因子之差为60。这些整数是这样的差别是

60 -1= 59

30-2=28

20-3=17

15-4=11

12-5 = 7

10 -6 = 4

在这些选项中，只有23个不在列表上，所以它是正确的选择。

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问题59:理解指数

检查这两个多项式，每个都少了一个数:

$x^{2}-8 x + \square$

$x^{3}+ \bigcirc$

在每个形状内写一个整数，这样第一个多项式就是第二个多项式的因数。

可能的答案:

在正方形里写上8，在圆形里写上512

把64写在正方形里，64写在圆形里

在正方形里写上8，在圆形里写上64

把64写在正方形里，512写在圆形里

在正方形里写上64，在圆形里写上4.096

正确答案:

把64写在正方形里，512写在圆形里

解释：

在第二个多项式中寻找的因子分解模式是立方体的和，因此圆中的数字必须是整数的完美立方体．我们可以把这个多项式写成

$x^{3}+ B^{3}$

哪一个可以分解为

$(x+B) (x^{2}-Bx+B^{2})$

根据问题的条件， B = 8 ，所以取代平方数的数是 $8^{2} = 64$ ，替换圆的数字是 $8^{3} = 512$ ．

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问题51:指数

简化。

$\frac{3x^{-4}y^2zx^2}{21yz^{-3}}$

可能的答案:

$\frac{y}{7x^2z^4}$

$\frac{x^2y}{7z^2}$

$\frac{yz^4}{7x^2}$

${7x^2yz^4}$

正确答案:

$\frac{yz^4}{7x^2}$

解释：

解决这个问题有不同的方法。我们只需要记住三件事:

$\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$
$x^{-a}=\frac{1}{x^a}$
$x^ax^b=x^{a+b}$

记住这些，我们可以化简分子和系数:

$\frac{3x^{-4}y^2zx^2}{21yz^{-3}}=\frac{1x^{-4+2}y^2z}{7yz^{-3}}=\frac{1x^{-2}y^2z}{7yz^{-3}}$

我要移动负指数(number2在上面的列表中)，以使他们积极:

$\frac{1\mathbf{x^{-2}}y^2z}{7y\mathbf{z^{-3}}}=\frac{z^3y^2z}{7x^2y}$

我们可以再化简一下分子指数(3.)及指数(1)：

$\frac{z^3y^2z}{7x^2y}=\frac{yz^4}{7x^2}$

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问题61:理解指数

简化:

$\frac{(4x^{7}y^{-4}z^{0})^{3}}{(2x^{-3}y^{10}z^1)^4}$

可能的答案:

$\frac{4x^9}{y^{13}z^2}$

$\frac{64x^{21}y^{-12}}{16x^{-12}y^{40}z^4}$

无法简化

$\frac{64x^{10}y^{-1}z^3}{16xy^{14}z^5}$

$\frac{4x^{33}}{y^{52}z^{4}}}$

正确答案:

$\frac{4x^{33}}{y^{52}z^{4}}}$

解释：

我们必须做的第一件事是将圆括号外的指数分布到每个表达式中(当然要记住，设置为另一个指数的指数是相乘的)。

$\frac{(4x^{7}y^{-4}z^{0})^{3}}{(2x^{-3}y^{10}z^1)^4} = \frac{4^3(x^7)^3(y^{-4})^3(z^0)^3}{2^4(x^{-3})^4(y^{10})^4(z^1)^4} =$ $\frac{64x^{21}y^{-12}}{16x^{-12}y^{40}z^4}$

最后一步是遵循指数加减法的规则:

$a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ 和 $a^b / a^c = a^{b-c}$

因此:

$\frac{64x^{21}y^{-12}}{16x^{-12}y^{40}z^4} =$ $\frac{4x^{33}}{y^{52}z^{4}}}$

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问题61:指数

下面哪个选项是正确的 $5^{x}= 3,899$ ？

可能的答案:

7 < x < 8

5 < x < 6

这个方程没有解。

6< x < 7

8 < x < 9

正确答案:

5 < x < 6

解释：

要回答这个问题，请注意

$5^{5}= 3,125$

和

$5^{6}= 15,625$ ．

因此,自

3,125< 3,899<15,625

由此得出

$5^{5} < 5^{x}< 5^{6}$

和

5 < x < 6 ．

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问题63:理解指数

解出：

$4^{x}= 512$

可能的答案:

$x= \frac{1}{4}$

$x= \frac{9}{2}$

$x= \frac{2}{9}$

这个方程没有解。

x = 4

正确答案:

$x= \frac{9}{2}$

解释：

用指数规则将两边改写为2的幂，如下所示:

$4^{x}= 512$

$(2^{2} )^{x}= 512$

$2 ^{2\cdot x} = 2^{9}$

由于相同底数的幂是相等的，所以将指数设为相等:

2x = 9

$x= \frac{9}{2}$

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问题64:理解指数

解出：

$9^{t} = 3^{t - 4}$

可能的答案:

t = 4

这个方程没有解。

t = -4

t= -2

t = 2

正确答案:

t = -4

解释：

用指数规则将等式两边改写为3的幂，如下所示:

$9^{t} = 3^{t - 4}$

$(3^{2})^{t} = 3^{t - 4}$

$3^{2\cdot t}= 3^{t - 4}$

由于相同底数的幂是相等的，所以将指数设为相等:

2t = t-4

2t - t= t-4 - t

t = -4

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问题65:理解指数

解出：

$2^{x+1} \cdot 4 ^{x} = 8^{3x}$

可能的答案:

x = 1

x= 6

$x = \frac{1}{6}$

$x= \frac{3}{2}$

这个方程没有解。

正确答案:

$x = \frac{1}{6}$

解释：

将所有表达式重写为2的幂，并使用指数规则如下:

$2^{x+1} \cdot \left ( 2^{2}\right ) ^{x} = \left ( 2^{3}\right ) ^{3x}$

$2^{x+1} \cdot 2^{2 \cdot x} = 2^{3 \cdot 3x }$

$2^{x+1} \cdot 2^{2x} = 2^{9x }$

$2^{x+1 + 2x} = 2^{9x }$

$2^{3x+1 } = 2^{9x }$

由于相同底数的幂是相等的，所以将指数设为相等:

3x+1=9x

3x+1 - 3x=9x - 3x

1 = 6x

$x = \frac{1}{6}$

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问题66:理解指数

解出：

$2 ^{x} + 2 ^{x-1} = 24$

可能的答案:

x= 3

这个方程没有解。

$x = \frac{9}{2}$

$x= \frac{7}{2}$

x= 4

正确答案:

x= 4

解释：

重写第一个表达式得到:

$2 ^{x} + 2 ^{x-1} = 24$

$2 \cdot 2 ^{x-1} + 2 ^{x-1} = 24$

$2 \cdot 2 ^{x-1} + 1 \cdot 2 ^{x-1} = 24$

$3 \cdot 2 ^{x-1} = 24$

$\frac{3 \cdot 2 ^{x-1} }{3}= \frac{24}{3}$

$2 ^{x-1} = 8$

$2 ^{x-1} = 2^{3}$

x-1 = 3

x=4

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问题67:理解指数

解出：

$2^{3t} = 8^{t - 4}$

可能的答案:

t = 1

t = -4

t = 0

t = 3

这个方程没有解。

正确答案:

这个方程没有解。

解释：

用指数规则将两边改写为2的幂，如下所示:

$2^{3t} = 8^{t - 4}$

$2^{3t} = (2^{3}) ^{t - 4}$

$2^{3t} = 2^{3\left ( t - 4 \right )}$

由于相同底数的幂是相等的，所以将指数设为相等:

3t = 3t-12

3t - 3t= 3t-12 - 3t

0 = -12

这是同假的，所以方程没有解。

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