GMAT数学:和弦

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例子问题

例子问题1:计算和弦的长度

的和弦 $60^{\circ }$ 圆的圆心角 $40 \pi$ 什么长度?

可能的答案:

$10\sqrt{2}$

$4 \sqrt{5}$

$2 \sqrt{10}$

正确答案:

$2 \sqrt{10}$

解释：

半径一个有面积的圆 $40 \pi$ 可以找到如下:

$\pi r^{2} = A$

$\pi r^{2} = 40 \pi$

$r^{2} = 40$

$r = \sqrt{40 } = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2 \sqrt{10}$

圆、圆心角和弦如下图所示:

根据等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是等边的，那么 $AB = AO= 2 \sqrt{10}$ ，正确的回答。

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例子问题2:计算和弦的长度

的和弦 $120^{\circ }$ 圆的圆心角 $32 \pi$ 什么长度?

可能的答案:

$4 \sqrt{6}$

$4 \sqrt{2}$

$4\sqrt{3}$

正确答案:

$4 \sqrt{6}$

解释：

半径一个有面积的圆 $32 \pi$ 可以找到如下:

$\pi r^{2} = A$

$\pi r^{2} = 32 \pi$

$r^{2} = 32$

$r = \sqrt{32} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

圆，圆心角，和弦如下所示，以及 $\overline{AM}$ 等腰等分 $\Delta AOB$

我们专注于 $\Delta AOM$ 30-60-90三角形。根据30-60-90定理，

$OM = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

而且

$AM = OM \sqrt{3} = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}$

的和弦 $\overline{AB}$ 长度是这个的两倍，还是

$2 \cdot 2 \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}$

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示例问题3:计算和弦的长度

的和弦 $120^{\circ }$ 圆与周长的圆心角 $40 \pi$ 什么长度?

可能的答案:

$20 \sqrt{2}$

$20 \sqrt{6}$

$20 \sqrt{3}$

正确答案:

$20 \sqrt{3}$

解释：

有周长的圆 $40 \pi$ 作为半径

$40 \div 2\pi = 20$ ．

圆，圆心角，和弦如下所示，以及 $\overline{AM}$ 等腰等分 $\Delta AOB$ ：

我们专注于 $\Delta AOM$ 30-60-90三角形。根据30-60-90定理，

$\overline{OM}$ 有一半的长度 $\overline{AO}$ ,所以 OM = 10

而且

$AM = OM \sqrt{3} =10 \sqrt{3}$

的和弦 $\overline{AB}$ 长度是这个的两倍，还是

$2 \cdot 10 \sqrt{3}= 20 \sqrt{3}$

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例子问题1:和弦

的和弦 $90^{\circ }$ 圆的圆心角 $50 \pi$ 什么长度?

可能的答案:

$5\sqrt{2}$

$5\sqrt{3}$

$10 \sqrt{2}$

正确答案:

解释：

半径一个有面积的圆 $50 \pi$ 可以找到如下:

$\pi r^{2} = A$

$\pi r^{2} = 50 \pi$

$r^{2} = 50$

$r = \sqrt{50 } = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

圆、圆心角和弦如下图所示:

根据等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 能证明是一个45-45-90三角形吗 $5 \sqrt{2}$ ．它的斜边有长度 $\sqrt{ 2}$ 次,或

$5 \sqrt{2} \times \sqrt{2}= 5 \times 2 = 10$

这是正确的反应。

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例子问题2:计算和弦的长度

的和弦 $90^{\circ }$ 圆与周长的圆心角 $60 \pi$ 什么长度?

可能的答案:

$30\sqrt{2}$

$60\sqrt{2}$

$30\sqrt{3}$

正确答案:

$30\sqrt{2}$

解释：

有周长的圆 $60 \pi$ 作为半径

$60\pi \div 2\pi = 30$ ．

圆、圆心角和弦如下图所示:

根据等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是45-45-90三角形，腿长30。根据45-45-90定理，它的斜边——圆心角的弦——有长度 $\sqrt{ 2}$ 次,或 $30 \sqrt{2}$ ．这是正确的反应。

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例子问题2:计算和弦的长度

考虑到圆：

Circle3

(图未按比例绘制)

如果 $\angle BOX$ 是一个 $90^{\circ}$ 角，是线段的度量?

可能的答案:

$\large \large 15\sqrt{2} \:m$

$30 \:m$

$30\sqrt{2} \:m$

$15\sqrt{3} \:m$

$15 \:m$

正确答案:

$\large \large 15\sqrt{2} \:m$

解释：

这是一个变相的三角问题。我们有一个90度三角形，它的两条边由圆的半径组成。这意味着另外两个角( $\angle OXB$ 而且 $\angle OBX$ )必须 $45^{\circ}$ 每一个。

使用45/45/90三角形的比率来找到最终的边。另外，你可以用勾股定理找到缺失的边。

45/45/90边长比:

$x/x/\sqrt{2}x$

$x=radius=15\:m$

段 $BX=15\sqrt{2}\:m$

或者，用勾股定理， a^2+b^2=c^2 通过重新排列和求解斜边，在这里是线段：

$BX=\sqrt{15^2+15^2}=\sqrt{450}=\sqrt{225*2}=\sqrt{225}*\sqrt{2}=15*\sqrt{2}=15\sqrt2\:m$

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示例问题7:计算和弦的长度

计算半径为的圆中弦的长度，已知从中心到弦的垂直距离为．

可能的答案:

正确答案:

解释：

已知圆的半径以及从圆心到弦的垂直距离，这就是我们计算弦的长度所需要的。利用包含这两个量的弦长公式，我们得到解如下，其中是弦长，从圆心到弦的垂直距离，和半径:

$L=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{5^2-3^3}=2\sqrt{25-9}=2\sqrt{16}=8$

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示例问题8:计算和弦的长度

的和弦 $60^{\circ }$ 圆与周长的圆心角 $90 \pi$ 什么长度?

可能的答案:

$45\sqrt{3}$

$90\sqrt{2}$

$45\sqrt{2}$

正确答案:

解释：

有周长的圆 $90 \pi$ 作为半径

$90\pi \div 2\pi = 45$ ．

圆、圆心角和弦如下图所示:

根据等腰三角形定理， $\Delta AOB$ 可以证明是等边的，那么 AB = AO= 45 ，正确的回答。

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示例问题9:计算和弦的长度

弧 $\widehat{AB}$ 一个圆的长度 $90^{\circ }$ 和长度 x + 2 ．给出和弦的长度 $\overline{AB}$ ．

可能的答案:

$\frac{ \pi \sqrt{2}}{2} x + \pi \sqrt{2}$

$\frac{ \sqrt{2}}{\pi}x + \frac{ \sqrt{2}}{\pi}$

$\frac{2 \sqrt{2}}{\pi}x + \frac{4 \sqrt{2}}{\pi}$

$\pi x \sqrt{2}+ 2 \pi \sqrt{2}$

$\frac{ \pi \sqrt{2}}{4} x + \frac{ \pi \sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\frac{2 \sqrt{2}}{\pi}x + \frac{4 \sqrt{2}}{\pi}$

解释：

参考图如下。

电弧是 $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ 所以圆的周长是

4 (x+2) = 4x+8 ．

半径是周长除以 $2 \pi$ ,或

$\frac{ 4x+8}{2 \pi} = \frac{2}{\pi}x + \frac{4}{\pi}$ ．

$\overline{AB}$ 因此，等腰直角三角形的斜边是腿长吗 $\frac{2}{\pi}x + \frac{4}{\pi}$ ；根据45-45-90三角形定理，其长度为 $\sqrt{2}$ 次,或

$\left (\frac{2}{\pi}x + \frac{4}{\pi} \right ) \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi}x + \frac{4 \sqrt{2}}{\pi}$

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