GMAT数学:计算圆的方程

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例子问题

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例子问题1:计算圆的方程

一个圆的直径有两个端点(4,5)和(10,1)。这个圆的方程是什么?

可能的答案:

$\small (x - 7)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$

$\small \small \small \small (x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} = 169$

$\small \small (x - 7)^{2} + (y - 3)^{2} = 169$

$\small \small \small (x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} = 13$

$\small 3x^{2} + 9y^{2} = 169$

正确答案:

$\small (x - 7)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$

解释：

有圆心圆的方程 (h,k) 和半径是

$\small \small \small \small (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$

圆心是任意直径的中点，所以为了找到圆心，我们使用中点公式:

$\small \small h= \small \frac{x_{1}+x_{2}}{2}= \small \frac{4+10}{2} = 7$

$\small \small \small k= \small \frac{y_{1}+y_{2}}{2}= \small \frac{5+1}{2} = 3$

中心是(7,3)。半径是(7,3)和(10,1)之间的距离，所以我们使用距离公式:

$\small r = \sqrt{(10-7)^{2}+(1-3))^{2}} = \sqrt{3^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{13}$

所以 $\small r^{2} = 13$ ，圆的方程为

$\small (x - 7)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$

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例子问题2:计算圆的方程

在坐标平面上，圆有圆心 $\left ( 5,2 \right )$ 穿过这个点 $\left ( -1,-6 \right )$ ．圆的面积是多少?

可能的答案:

$4\sqrt{2}\pi$

$80\pi$

$10\pi$

$36\pi$

$100\pi$

正确答案:

$100\pi$

解释：

两点的距离是 $\sqrt{(5-(-1))^2+(2-(-6))^2}=10$ ．

10是圆的半径。然后我们可以计算面积:

$A=\pi r^{2}=\pi \cdot 10^{2}=100\pi$ ．

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例子问题3:计算圆的方程

坐标平面上的圆有面积 $64\pi$ ；它的中心是原点。下面哪个是这个圆的方程?

可能的答案:

$x ^{2} + y ^{2} = 64$

$x ^{2} + y ^{2} = 16$

$x ^{2} + y ^{2} = 8$

$x ^{2} + y ^{2} = 256$

$x ^{2} + y ^{2} = 4,096$

正确答案:

$x ^{2} + y ^{2} = 64$

解释：

圆心在原点的圆的方程是

$x ^{2} + y ^{2} = r^{2}$

在哪里是圆的半径。圆的面积是 $A = \pi r ^{2}$ ．

因为问题中圆的面积是 $64\pi$ ，我们可以解出来 $r ^{2}$ ：

$A = \pi r ^{2} = 64 \pi$

$\pi r ^{2} \div \pi = 64 \pi \div \pi$

$r ^{2} = 64$

方程是

$x ^{2} + y ^{2} = 64$

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问题4:计算圆的方程

描述由方程给出的圆 $(x+3)^{2}+y^{2} = 2$ ．

可能的答案:

中心 (0, -3) 半径= $\ sqrt {2}$

中心 (-3, 0) 半径= $\ sqrt {2}$

中心 (0, 0) 半径= 2

中心 (0, 3) 半径= 2

中心 (3, 0) 半径= $\ sqrt {2}$

正确答案:

中心 (-3, 0) 半径= $\ sqrt {2}$

解释：

圆的方程是 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = r^{2}$ 式中(a, b)为圆心，r为半径。在方程中，一个= 3,b= 0, r = $\ sqrt {2}$ ．然后方程描述了一个圆心为(- 3,0)半径为的圆 $\ sqrt {2}$ ．

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例子问题1:计算圆的方程

在面,点 $(a, b)$ 位于圆心在原点的圆上。圆的半径是5。价值是什么 $一个^ {2}+ b ^ {2}$ ?

可能的答案:

$5$

$10$

$25$

$32$

$16$

正确答案:

$25$

解释：

$一个$ 而且 $b$ 是三角形的直角边，圆的半径是三角形的斜边。从勾股定理我们可以知道 $一个^ {2}+ b ^ {2} = r ^ {2} = 5 ^ {2} = 25$ ．

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例子问题6:计算圆的方程

$\textup{Circle }Q$ 是否以点为中心 $\left ( -6,-5\right )$ 在这一点上和y轴接触一次 $\left ( 0,-5\right )$ ．这个方程表示什么 $\textup{Circle }Q$ ?

可能的答案:

$\small \small 6=(x-6)^2+(y-5)^2$

$\small \small 36=(x-6)^2+(y-5)^2$

$\small \small 25=(x+6)^2+(y+5)^2$

$\small \small 6=(x+6)^2+(y+5)^2$

$\small 36=(x+6)^2+(y+5)^2$

正确答案:

$\small 36=(x+6)^2+(y+5)^2$

解释：

圆的一般形式方程为:

$\small r^2=(x-h)^2+(y-k)^2$

在这种情况下，我们的半径是6，因为我们的圆在(0，-5)点接触y轴一次。这样半径就等于圆心的x坐标的绝对值。排除所有不带36的数。

然后，因为(h,k)已经是负的，他们把括号内的符号换成正的，得到我们的答案:

$\small 36=(x+6)^2+(y+5)^2$

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示例问题7:计算圆的方程

的点 L (-4,5) 而且 K (9,3) 形成一条经过圆Q中心的直线，两点都在圆Q上。

下面哪个选项代表圆Q的正确方程?

可能的答案:

6.58^2=(x+4)^2+(y+2.5)^2

6.58^2=(x-2.5)^2+(y-4)^2

13.15^2=(x+4)^2+(y+2.5)^2

6.58^2=(x+2.5)^2+(y+4)^2

6.58^2=(x-4)^2+(y-2.5)^2

正确答案:

6.58^2=(x-2.5)^2+(y-4)^2

解释：

圆方程的一般形式如下:

r^2=(x-h)^2+(y-k)^2

其中r为半径，(h,k)为圆心坐标。

首先，让我们用距离公式求出半径。因为LK经过圆心，从圆的外缘走到另一边，我们可以说LK是我们的直径。

用距离公式求出LK的长度。

$d=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$

代入我们的观点并简化:

$d=\sqrt{(9--4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{13^2+2^2}=\sqrt{173}\approx13.15$

这是直径，所以半径是13.15的一半，也就是6.575。这是6.58

接下来，我们可以用中点公式求圆心q。中点公式为:

$midpoint(x,y)=\left(\frac{x+x'}{2},\frac{y+y'}{2}\right)$

代入化简得到中点

$midpoint(x,y)=\left(\frac{-4+9}{2},\frac{5+3}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\frac{8}{2}\right)=(2.5,4)$

把它们放在一起就得到:

6.58^2=(x-2.5)^2+(y-4)^2

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例8:计算圆的方程

求半径为的圆的方程谁的中心是 $\left (1,2 \right )$ ．

可能的答案:

(x-2)^2+(y-1)^2=4

(x-1)^2+(y-2)^2=16

(x-2)^2+(y-1)^2=16

(x-1)^2+(y-2)^2=4

正确答案:

(x-1)^2+(y-2)^2=16

解释：

要解决这个问题，请记住圆心圆的一般公式 $\left ( h,k \right )$ 和半径是:

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

因此,

(x-1)^2+(y-2)^2=16

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问题9:计算圆的方程

坐标平面上的两个圆以原点为圆心。外圆有它的方程

$x^{2}+ y^2 = 50$ ；

内圈有它的方程

$x^{2}+ y^2 = 25$ ．

求出两个圆之间区域的面积。

可能的答案:

$25 \pi$

$10 \pi$

$5 \pi$

正确答案:

$25 \pi$

解释：

圆心在原点的圆有方程

$x^{2}+ y^2 = r^{2}$ ．

让而且分别为大圆和小圆的半径。

大圆上有方程 $x^{2}+ y^2 = 50$ ,所以 $R^{2} = 50$ ．圆的面积等于 $\pi$ 乘以半径的平方，所以大圆的面积是 $\pi \cdot R^{2} = 50 \pi$ ．

同样，小圆的面积，其方程为 $x^{2}+ y^2 = 25$ ,是 $25 \pi$ ．

它们之间区域的面积就是差值，也就是 $50 \pi - 25 \pi = 25 \pi$ ．

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例子问题10:计算圆的方程

坐标平面上的两个圆以原点为圆心。内圈有它的方程

$x^{2}+ y^2 = 64$ ；

圆与圆之间的区域有面积 $30 \pi$ ．

给出外圆的方程。

可能的答案:

$x^{2}+ y^2 =124$

$x^{2}+ y^2 = 90$

$x^{2}+ y^2 =79$

$x^{2}+ y^2 = 74$

$x^{2}+ y^2 =94$

正确答案:

$x^{2}+ y^2 =94$

解释：

圆心在原点的圆有方程

$x^{2}+ y^2 = r^{2}$ ．

因为内圆的方程是 $x^{2}+ y^2 = 64$ ，那么对于这个圆，

$r^{2} = 64$ ，

它的面积是 $A = \pi r^{2} = \pi \cdot 64 = 64 \pi$ ．

圆与圆之间区域的面积为 $30 \pi$ ，所以外圆有面积

$64 \pi + 30 \pi = 94 \pi$ ．

如果是外圆的半径，那么它的面积是多少

$A = \pi R^{2} = 94\pi$

这使得 $R ^{2} = 94$ ，和外圆的方程

$x^{2}+ y^2 = R^{2}$

或

$x^{2}+ y^2 =94$

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