GMAT数学:简化代数表达式

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例子问题

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例子问题1:简化代数表达式

对表达式求值 $(x+y)^{2}-x(x+3y)+xy$

1） x = 3

2） y = 2

可能的答案:

表述二ALONE充分解题，但表述一ALONE不充分。

表述一ALONE充分解题，但表述二ALONE不充分。

两个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

正确答案:

表述二ALONE充分解题，但表述一ALONE不充分。

解释：

简化表达式:

$(x+y)^{2}-x(x+3y)+xy$

$= x^{2}+2xy+y^{2}-x^{2}-3xy+xy$

$= x^{2}-x^{2} +xy+2xy-3xy+y^{2}$

$= y^{2}$

因此，我们只需要知道-如果我们知道 y = 2 ，我们计算 $(x+y)^{2}-x(x+3y)+xy = y^{2} = 2^{2} = 4$

答案是，表述二单独能充分解题，但表述一不能。

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例子问题1:简化代数表达式

评估: $\frac{(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}{x}$

声明1: x = 5

声明2: y=3

可能的答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

$\frac{(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}{x} = \frac{(x^{2}+2xy+y^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})}{x} = \frac{4xy}{x}= 4y$

因此，您只需要知道的值评估;知道…的价值既没有必要也没有帮助。

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示例问题3:简化代数表达式

求表达式是否为正 x,y ：

$\frac{4x^{2}}{y^{-4}} \cdot \frac{3x^{2}y^{2}}{8} \cdot \frac{5}{(2x^{2}y^{2})^{2}}$

声明1: x = 3

声明2: y = 4

可能的答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

$\frac{4x^{2}}{y^{-4}} \cdot \frac{3x^{2}y^{2}}{8} \cdot \frac{5}{(2x^{2}y^{2})^{2}}$

$= \frac{4x^{2}}{y^{-4}} \cdot \frac{3x^{2}y^{2}}{8} \cdot \frac{5}{2^{2} (x^{2})^{2}(y^{2})^{2}}$

$= \frac{4x^{2}}{y^{-4}} \cdot \frac{3x^{2}y^{2}}{8} \cdot \frac{5}{4 x^{2\cdot 2}y^{2\cdot 2}}$

$= \frac{4x^{2}}{y^{-4}} \cdot \frac{3x^{2}y^{2}}{8} \cdot \frac{5}{4 x^{4}y^{4}}$

$= \frac{4x^{2}\cdot 3x^{2}y^{2}\cdot 5}{y^{-4}\cdot 8\cdot 4 x^{4}y^{4}}$

$= \frac{4 \cdot 3\cdot 5 \cdot x^{2}\cdot x^{2}\cdot y^{2}}{8\cdot 4 \cdot x^{4} \cdot y^{4}\cdot y^{-4}}$

$= \frac{60 \cdot x^{2+2}\cdot y^{2}}{32 \cdot x^{4} \cdot y^{4-4}}$

$= \frac{60 \cdot x^{4}\cdot y^{2}}{32 \cdot x^{4}}$

取消 $x^{4}$ 两部分:

$= \frac{60 y^{2}}{32 } = \frac{15 y^{2}}{8 }$

通过简化可以看出，原来只有的值，它只在表述2中给出，会影响表达式的值。

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示例问题4:简化代数表达式

的价值是什么 x+y ?

(1） 7x=7-7y

（2） 13x+13y=13

可能的答案:

表述二单独充分解题，但另一个表述单独不充分

表述一单独充分解题，但另一个表述单独不充分

每个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不能充分回答这个问题。

两个表述一起都能充分解题，但两个表述单独都不充分。

正确答案:

每个表述单独都能充分解题。

解释：

(1)添加给双方都做 7x+7y=7 ．然后两边除以7得到

x+y=1 ．这个表述是充分的。

(2)两边同时除以13。方程变得 x+y=1 ．这个表述是充分的。

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示例问题5:简化代数表达式

是 d > e ?

(1.) d = e + 5

(2.) $\frac{d}{6} = e - 2$

可能的答案:

两个表述一起不能充分回答这个问题。

表述二单独充分解题，但另一个表述单独不充分。

表述一单独充分解题，但另一个表述单独不充分。

每个表述单独都能充分解题。

两个表述一起都能充分解题，但两个表述单独都不充分。

正确答案:

表述一单独充分解题，但另一个表述单独不充分。

解释：

(1)因为必须加上5让它等于，可以得出 d>e ．这个表述是充分的。

(2)两边同时乘以6得到 d = 6e - 12 ．因此,是否 d > e 或

d < e 取决于所选的值而且．例如, e = 0 意味着

d = -12 , ( e > d ),但 e = 20 意味着 d = 108 ，

(这样 e < d )．因此，这种说法是不充分的。

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示例问题6:简化代数表达式

真或假?

$\frac{(x + y)^{2} - (x - y)^{2} }{y} \geq \frac{(x + y)^{2} + (x - y)^{2} }{x^{2}+y^{2}}$

声明1: x = 10

声明2: y = 7

可能的答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

简化每个表达式。

$\frac{(x + y)^{2} - (x - y)^{2} }{y}$

$= \frac{(x^{2}+2xy + y^{2}) - (x^{2}-2xy + y^{2}) }{y}$

$= \frac{4xy }{y} = 4x$

$\frac{(x + y)^{2} + (x - y)^{2} }{x^{2}+y^{2}}$

$= \frac{(x^{2}+2xy + y^{2}) + (x^{2}-2xy + y^{2}) }{x^{2}+y^{2}}$

$= \frac{2x^{2} + 2y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{2 \left ( x^{2} + y^{2} \right ) }{x^{2}+y^{2}} = 2$

因此，这个不等式等于

$4x \geq 2$ ，

它的真假只取决于它的价值

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例子问题1:简化代数表达式

真或假?

$\frac{(x + 4y)^{2} - (x - 4y)^{2} }{y} < \frac{(x + 3y)^{2} - (x - 3y)^{2} }{x}$

声明1: x = 7

声明2: y = 4

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

对两个表达式进行代数化简。

$\frac{(x + 4y)^{2} - (x - 4y)^{2} }{y}$

$=\frac{(x^{2} + 2\cdot x\cdot 4y+ (4y)^{2} ) - (x^{2} - 2\cdot x\cdot 4y+ (4y)^{2} ) }{y}$

$=\frac{(x^{2} + 8 xy+ 16y^{2} ) - (x^{2} -8 xy+ 16y^{2} ) }{y}$

$=\frac{16xy }{y} =16x$

使用类似的代数，你可以化简另一个表达式:

$\frac{(x + 3y)^{2} - (x - 3y)^{2} }{x} = 12y$

假设变量有非零值，这个问题相当于问是否 16x<12y 是真的。因为我们需要知道两个变量的值来回答这个问题，所以这两个表述都是必要的和充分的。

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示例问题8:简化代数表达式

下图显示了一个用形状代替指数的三叉项:

$x^{\bigcirc } + x^{\square} + x^{\bigtriangleup }$

每个形状替换一个整数。

这是一个简化的表达式吗?

表述一:三个指数的和是10。

表述二，圆和三角形代替了不同的数。

可能的答案:

两个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

正确答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

解释：

假设两个表述都为真。

$x^{2} + x^{3} + x^{5 }$ 而且 $x^{2} + x^{4} + x^{4 }$ 每个都符合两个表述的条件。然而，第一个多项式，没有类似的项-三个不同的指数-是一个简化表达式;第二种，有相同的项-都有指数4 -不是。

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例子问题1:简化代数表达式

下图显示了用形状替换系数和指数的二项式:

$\square x^{\bigcirc } + \lozenge x ^{ \bigtriangleup }$

每个形状替换一个整数。

这是一个简化的表达式吗?

表述一:正方形和圆替换了相同的整数。

表述二:菱形和三角形替换了不同的整数。

可能的答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

解释：

两个表述一起是不充分的。

$2x^{2}+ 3x^{2}$ 而且 $2x^{2}+ 2x^{3}$ 每个都符合两个表述的条件。然而，前者是类似项的和——指数是相同的——并且可以简化;后者是不同项的和——指数是不同的——而且不能。

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例子问题1:简化代数表达式

斯蒂芬妮的老师向她提出挑战，要求她在下图的正方形和圆形中填入一个5度的单项。

$\square x^{\bigcirc }$

斯蒂芬妮成功了吗?

表述一:斯蒂芬妮在正方形上写了一个5。

表述二，斯蒂芬妮在圈里写了一个7。

可能的答案:

两个表述一起不足以回答这个问题。

两个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

两个表述合在一起都能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

一个单变量的次数是该变量的指数。因此，只有斯蒂芬妮在圈里写的数字是相关的。表述一没有帮助;表述二单独证明了斯蒂芬妮不成功。

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