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微积分2:级数的类型

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例子问题

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问题1:类型的系列

评估:

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{3^{n}}{\pi ^{n+1}}$

可能的答案:

$\pi + \frac{1}{3}$

$\pi - \frac{1}{3}$

$\frac{1}{\pi - 3 \right )}$

系列分歧。

$3 - \frac{1}{\pi}$

正确答案:

$\frac{1}{\pi - 3 \right )}$

解释：

这可以改写为

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{3^{n}}{\pi ^{n+1}}$

$= \sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac{1}{\pi} \cdot \frac{3^{n}}{\pi ^{n }} \right )$

$= \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{\pi} \left ( \frac{3 }{\pi} \right ) ^{n }$

$\pi > 3$ ,所以 $\frac{3}{\pi} < 1$ ，使它成为具有初始项的收敛几何级数 $\frac{1}{\pi} \left ( \frac{3 }{\pi} \right ) ^{0 } = \frac{1}{\pi}$ 和常见的比 $\frac{3 }{\pi}$ ．因此总和是

$= \frac{ \frac{1}{\pi}}{1 - \frac{3}{\pi }} = \frac{1}{\pi \left (1 - \frac{3}{\pi } \right )} = \frac{1}{\pi - 3 \right )}$ ．

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问题1:类型的系列

评估:

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{e^{n}}{\pi ^{n }}$

可能的答案:

$\frac{e}{ \pi - e}$

系列分歧。

$\frac{e}{ \pi + e}$

$\frac{\pi}{ \pi + e}$

$\frac{\pi}{ \pi - e}$

正确答案:

$\frac{\pi}{ \pi - e}$

解释：

这可以改写为

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{e^{n}}{\pi ^{n }} = \sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac{e}{\pi } \right )^{n}$ ．

这是一个有初始项的几何级数 $\left (\frac{e}{\pi } \right )^{0} = 1$ 和常见的比 $\frac{e}{\pi } \right$ ．自 $e < \pi$ ， $\frac{e}{\pi } < 1$ ，该系列会聚到：

$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{e^{n}}{\pi ^{n }} = \frac{1}{1 - \frac{e}{\pi }} = \frac{\pi}{ \pi - e}$

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问题3:类型的系列

评估:

$\sum_{n= 1}^{\infty } \left ( \frac{e-1}{e} \right )^n$

可能的答案:

$\frac{2e}{e-1}$

e-1

这个级数不是收敛的。

$\frac{2e}{e+1}$

正确答案:

e-1

解释：

$\sum_{n= 1}^{\infty } \left ( \frac{e-1}{e} \right )^n$ 有初始项的无穷几何级数 $\left ( \frac{e-1}{e} \right )^1 = \frac{e-1}{e}$ 和常见的比 $\frac{e-1}{e}$ ．因此总和是

$\sum_{n= 1}^{\infty } \left ( \frac{e-1}{e} \right )^n$

$=\frac{ \frac{e-1}{e} }{1-\frac{e-1}{e}}$ $\frac{}{}$

$=\frac{ e \cdot \frac{e-1}{e} }{e \cdot \left ( 1-\frac{e-1}{e} \right )}$

$= \frac{e-1}{e-(e-1)} = \frac{e-1}{1} = e - 1$

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问题#4:类型的系列

评估:

$\sum_{n=0}^{\infty } \left (-\frac{1}{e} \right )^n$

可能的答案:

$\frac{1}{e \right )}$

$\frac{e+1}{e\right )}$

$\frac{e-1}{e\right )}$

$\frac{e}{e+1\right )}$

正确答案:

$\frac{e}{e+1\right )}$

解释：

$\sum_{n=0}^{\infty } \left (-\frac{1}{e} \right )^n$ 有初始项的几何级数吗 $\left (-\frac{1}{e} \right )^0 = 1$ 和常见的比 $-\frac{1}{e}$ ．这个级数的和是

$\frac{1}{1-\left ( -\frac{1}{e} \right )}= \frac{1}{1+ \frac{1}{e} \right )} = \frac{e}{e+1\right )}$ ．

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问题1:类型的系列

您必须知道几何系列的术语，以便独特地定义该系列？

可能的答案:

五

三个

二

一个

四个

正确答案:

二

解释：

为了唯一地定义几何级数，我们需要知道两件事:连续项与至少一项之间的比率。知道一项并不能得到连续项的比值，但是知道两项就能得到比值。通过几何级数的项生成器 $\small a_{n}=a_{1}r^{n-1}$ ，你可以看到你只需要两项就能求出比例 $\small r$ ．

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问题1:类型的系列

假设等差数列的术语生成器为 $\small a_{n}=3n-2$ ．第一个的和是多少 $\small 20$ 这个序列的项 $(\small \small a_{1}+a_{2}...+a_{20})$ ？

可能的答案:

$\small 1180$

$\small 118$

$\small 58$

$\small 59$

$\small 590$

正确答案:

$\small 590$

解释：

求和公式 $\small n$ 等差级数的项是 $\small (a_{1}+a_{n})(n/2)$ ．

为 $\small 20$ Terms，这个公式变成 $\small \small \small (a_{1}+a_{20})(20/2)$ ．

使用我们的术语生成器 $\small a_{1}$ 和 $\small a_{20}$ ，这个公式就变成

$\small \small \small \small \small (3(1)-2+3(20)-2)(20/2)=(59)(10)=590$ ．

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问题3:算术与几何级数

级数是什么值 $\small \sum_{j=2}^\infty (-1)^j\left(\frac{1}{2}\right)^{j+1}$ 的方法吗?

可能的答案:

$\small \frac{17}{12}$

$\small -\infty$

$\small \infty$

$\small \frac{1}{12}$

正确答案:

$\small \frac{1}{12}$

解释：

我们可以通过将无穷级数识别为几何级数乘以某个常数来计算它。

让我们来处理这个级数:

$\small \small \small \sum_{j=2}^\infty (-1)^j\left(\frac{1}{2}\right)^{j+1}=\sum_{j=2}^\infty (-1)^2(-1)^{j-2}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{j-2}$

$\small \small \small =(-1)^2\left(\frac{1}{2}\right)^3\sum_{j=2}^\infty (-1)^{j-2}\left(\frac{1}{2}\right)^{j-2}=\frac{1}{8}\sum_{j=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^{j}$ ．

现在只要计算就够了 $\small \small \small \sum_{j=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^{j}$ 的幂级数 $\small \frac{1}{1-x}$ 与 $\small x=-\frac{1}{2}$ ,这是

$\small \small \small \sum_{j=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^{j}=\left( \frac{1}{1-(-1/2)}\right)=\left(\frac{1}{1.5} \right )=\frac{2}{3}$ ．

所以我们有

$\small \small \sum_{j=2}^\infty (-1)^j\left(\frac{1}{2}\right)^{j+1}=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{12}$ ．

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问题1:类型的系列

确定该级数是否为算术级数。如果是，找出共同的差异。

1+8+27+64+125+216+...

可能的答案:

级数不是算术

正确答案:

级数不是算术

解释：

如果一个级数是算术级数，那么在这个级数中每一对连续的项之间存在一个公差。

本系列为

$a_1=1,\, a_2=8,\,a_3=27,\,a_4=64$

因为

a_2-a_1=8-1=7

和

a_3-a_2=27-8=19

我们发现没有共同的差异，因此，

级数不是算术。

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示例问题＃2：类型的系列

确定几何级数是否收敛。如果是收敛的，求序列的和。

$1+\pi+\pi^2 +\pi^3 +\pi^4 +\pi^5+...$

可能的答案:

级数不收敛。

$100000\pi$

$\pi^{100}$

正确答案:

级数不收敛。

解释：

要确定几何系列的收敛，我们必须找到常规比率的绝对值。

如果公比的绝对值小于1，则几何级数收敛

|r|<1

在这个问题中，我们可以看到

$r=\pi \approx 3.14$

因为 $|\pi|>1$

我们得出级数不收敛于有限和的结论。

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问题1:类型的系列

计算下列数列的和: $\sum^{500}_{k=1}2k+3$

可能的答案:

250000

234000

240000

252000

正确答案:

252000

解释：

这是一个算术级数。

其一般形式是 $\sum^{n}_{k=1}a_k$ ．

要计算像这样的大级数的和，使用这个公式 $\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

这是可行的，因为你取最大和最小项的平均值，然后乘以n，这和计算总和是一样的。

解决方案:

$a_{1} = 2*1 + 3 = 5$

$a_{500} = 2 * 500 +3 = 1000 + 3 = 1003$

n =500

$\sum^{500}_{k=1}2k+3= \frac{n}{2}(a_{1}+a_{500}) = \frac{500}{2}(5+1003)=250*1008=252000$

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