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微积分2:级数的类型

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例子问题

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例子问题1:序列的极限

计算下列无限几何级数的和:

$\sum_{k=0}^{\infty}17\left(\frac{1}{6}\right)^k$

可能的答案:

$\frac{103}{5}$

$\frac{104}{5}$

$\frac{102}{5}$

$\frac{101}{5}$

正确答案:

$\frac{102}{5}$

解释：

这是一个无穷几何级数。

无穷几何级数的和可以用以下公式计算:

$S = \frac{a_{1}}{1-r}$ ,在那里 $a_{1}$ 是总和的第一个值，r是公比。

解决方案:

的价值 $a_{1}$ 可以通过设置找到吗 k = 0

$a_{1}=17$

R是指数中包含的值

$r=\frac{1}{6}$

$S=\frac{a_{1}}{1-r}$

$S=\frac{17}{1-\frac{1}{6}} = \frac{17*6}{5}$

$S=\frac{102}{5}$

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示例问题31:系列类型

计算下列无限几何级数的和:

$\sum_{k=0}^{\infty}3\left(\frac{3}{7}\right)^k$

可能的答案:

$\frac{21}{4}$

$\frac{23}{4}$

$\frac{27}{4}$

$\frac{25}{4}$

正确答案:

$\frac{21}{4}$

解释：

这是一个无穷几何级数。

无穷几何级数的和可以用以下公式计算:

$S = \frac{a_{1}}{1-r}$ ,在那里 $a_{1}$ 是总和的第一个值，r是公比。

解决方案:

的价值 $a_{1}$ 可以通过设置找到吗 k = 0

$a_{1}=3$

R是指数中包含的值

$r=\frac{3}{7}$

$S=\frac{a_{1}}{1-r}$

$S=\frac{3}{1-\frac{3}{7}} = \frac{3}{\frac{4}{7}}$

$S=\frac{21}{4}$

报告错误

问题32:系列类型

计算下列无限几何级数的和:

$\sum_{k=0}^{\infty}8\left(\frac{4}{9}\right)^k$

可能的答案:

$\frac{73}{5}$

$\frac{74}{5}$

$\frac{72}{5}$

$\frac{71}{5}$

正确答案:

$\frac{72}{5}$

解释：

这是一个无穷几何级数。

无穷几何级数的和可以用以下公式计算:

$S = \frac{a_{1}}{1-r}$ ,在那里 $a_{1}$ 是总和的第一个值，r是公比。

解决方案:

的价值 $a_{1}$ 可以通过设置找到吗 k = 0

$a_{1}=8$

R是指数中包含的值

$r=\frac{4}{9}$

$S=\frac{a_{1}}{1-r}$

$S=\frac{8}{1-\frac{4}{9}} = \frac{8}{\frac{5}{9}} = \frac{8*9}{5}$

$S=\frac{72}{5}$

报告错误

示例问题31:系列类型

评估:

$\sum_{x= 0}^{\infty } \frac{1}{n^2+8n+15}$

可能的答案:

级数不收敛。

$\frac{8}{15}$

$\frac{2}{5}$

$\frac{9}{40}$

$\frac{7}{24}$

正确答案:

$\frac{7}{24}$

解释：

可以用部分分式的方法来重写这个表达式:

$\frac{1}{n^2+8n+15} = \frac{1}{(n+3)(n+5)} = \frac{A}{n + 3} + \frac{B }{n+ 5}$

$\frac{1}{(n+3)(n+5)}$

$= \frac{A \left ( n+ 5 \right )}{(n+3)(n+5)} + \frac{B \left ( n + 3 \right )}{(n+3)(n+5)}$

$= \frac{A \left ( n+ 5 \right )+B \left ( n + 3 \right )}{(n+3)(n+5)}$

$= \frac{\left (A+B \right )n +5A+3B}{(n+3)(n+5)}$

A + B = 0

5A + 3B = 1

解决办法很容易找到 $A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}$ ，则该级数可重写为:

$\sum_{x= 0}^{\infty } \frac{1}{n^2+8n+15} = \sum_{x= 0}^{\infty } \left ( \frac{ \frac{1}{2}}{n + 3} - \frac{ \frac{1}{2} }{n+ 5} \right )$

$= \frac{1}{2}\sum_{x= 0}^{\infty } \left ( \frac{1}{n + 3} - \frac{1}{n+ 5} \right )$

这个级数是伸缩的，它等于:

$= \frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{1}{0 + 3} - \frac{1}{0+ 5} \right ) + \left ( \frac{1}{1 + 3} - \frac{1}{1+ 5} \right ) + \left ( \frac{1}{2 + 3} - \frac{1}{2+ 5} \right ) +...\right ]$

$= \frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{1}{ 3} - \frac{1}{ 5} \right ) + \left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right ) + \left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right ) +...\right ]$

$= \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{ 3} +\frac{1}{4} + \left ( \frac{1}{ 5} - \frac{1}{ 5} \right ) + \left ( \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \right ) + ...\right ]$

$= \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{ 3} +\frac{1}{4} +0 + 0 + 0+... \right ) = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{ 3} +\frac{1}{4} \right ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{24}$

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问题211:微积分级数

评估:

$\sum_{x= 0}^{\infty } \frac{1}{n^2+9n+20}$

可能的答案:

$\frac{1}{9}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{9}{20}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{20}$

正确答案:

$\frac{1}{4}$

解释：

可以用部分分式的方法来重写这个表达式:

$\frac{1}{n^2+9n+20} = \frac{1}{(n+4)(n+5)} = \frac{A}{n + 4} + \frac{B }{n+ 5}$

$\frac{1}{(n+4)(n+5)}$

$= \frac{A \left ( n+ 5 \right )}{(n+4)(n+5)} + \frac{B \left ( n + 4 \right )}{(n+4)(n+5)}$

$= \frac{A \left ( n+ 5 \right )+B \left ( n + 4 \right )}{(n+4)(n+5)}$

$= \frac{\left (A+B \right )n +5A+4B}{(n+4)(n+5)}$

A + B = 0

5A + 4B = 1

解决办法很容易找到 A = 1, B = -1 ，级数可以改写为:

$\sum_{x= 0}^{\infty } \frac{1}{n^2+9n+20} = \sum_{x= 0}^{\infty } \left ( \frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+5} \right )$

这是一个伸缩系列:

$\left ( \frac{1}{0+4} - \frac{1}{0+5} \right ) + \left ( \frac{1}{1+4} - \frac{1}{1+5} \right ) + \left ( \frac{1}{2+4} - \frac{1}{2+5} \right ) +...$

$= \left ( \frac{1}{ 4} - \frac{1}{ 5} \right ) + \left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right ) + \left ( \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right ) +...$

$= \frac{1}{ 4} + \left ( - \frac{1}{ 5} + \frac{1}{5} \right ) + \left ( - \frac{1}{ 6} + \frac{1}{6} \right ) +...$

$\frac{1}{4} + 0 + 0 + ... = \frac{1}{4}$

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例子问题1:调和级数

调和级数是a的一种特殊情况系列,等于多少?

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

一个-级数是一个级数的形式 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}$ ，调和级数为 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ ．因此 p=1 ．

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例子问题1:调和级数

以下哪项测试将有助于确定是否 $\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{x}$ 是收敛的还是发散的，为什么?

可能的答案:

积分检验:反常积分决定谐波级数发散。

$\textup{}$ n项检验:级数发散是因为极限为趋于无穷是零。

p -级数检验:和收敛自 p=1 ．

$\textup{}$ 散度检验:由于级数的极限趋近于零，级数必然收敛。

根检验:由于极限为趋于无穷是零，级数是收敛的。

正确答案:

积分检验:反常积分决定谐波级数发散。

解释：

该系列 $\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{x}$ 是一个调和级数。

第n项检验和发散者检验不能用来确定这个级数是否收敛，因为这是一个特殊的情况。根测试也不适用于此场景。

根据p系列检验， $\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{x^p}$ 只有在以下情况下才收敛 p>1 ．因此，这可能是一个有效的测试，但作为答案选择的定义是错误的，因为级数发散于 $p \leq1$ ．

这就剩下积分判别法了。

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}= \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}dx=\lim_{b \to \infty}( ln(b)-ln(1))=\infty$

由于反常积分发散，级数也发散。

报告错误

例子问题1:带误差界的交替级数

判断下列级数是否收敛或发散:

$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n(\frac{5}{n})$

可能的答案:

级数发散

级数(绝对)收敛

级数是有条件收敛的

级数可以(绝对)收敛、发散或有条件地收敛

正确答案:

级数(绝对)收敛

解释：

给定一个调和级数，我们可以说级数是发散的。但是，我们已经给出了交变谐波级数。为了确定这个级数是收敛还是发散，我们必须使用交替级数检验。

这个检验表明对于一个给定的级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}$ 在哪里 $a_{n}=(-1)^n(b_{n})$ 或 $a_{n}=(-1)^{n+1}(b_{n})$ 在哪里 $b_{n}\geq0$ 对于所有n，如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$ 而且 $b_{n}$ 是递减序列吗 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}$ 是收敛的。

首先，我们必须评估的极限 $b_{n}$ 当n趋于无穷时:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{5}{n}=5\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n}(\frac{n^-1}{1})=0$

极限等于零，因为当n趋于无穷时，分数分子等于零。

接下来，我们必须确定是否 $b_{n}$ 是递减序列。 $\frac{1}{n}< \frac{1}{n+1}$ ，则序列是递减的。

因为测试的两个部分都通过了，所以级数(绝对)收敛。

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例子问题1:调和级数

考虑交替级数

$\sum_{i=1}^\infty\frac{(-1)^{i-1}}{2^i}$ ．

下列哪项收敛性测试不是结论性的?

可能的答案:

交替级数检验

发散的极限检验

根检验

比率测验

正确答案:

发散的极限检验

解释：

让

$a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}$

是数列中的第n个和。发散的极限检验表明

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0$

意味着级数是发散的。

然而,

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}=0$ ，

所以这个测试是不确定的。

报告错误

例子问题3:调和级数

下面的级数收敛吗?

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$

可能的答案:

没有

无法确定

是的

正确答案:

没有

解释：

不，级数不收敛。给定的问题是发散到无穷远的调和级数。

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