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微积分2:级数的类型

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例子问题

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问题61:系列类型

确定需要添加多少项来近似下面的级数 $\frac{1}{1000}$ ：

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{10}{n!}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个交变级数试验。

为了找到必要的项来近似其中的级数 $\frac{1}{1000}$ 首先用交替级数检验看这个级数是否收敛。如果级数收敛，求出n满足 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

步骤1:

交替级数可以被识别，因为级数中的项将在+和-之间“交替”，因为 (-1)^n

注:交替级数检验只能显示收敛性。它不能显示出散度。

如果以下两个检验成立，则交替级数收敛。

$a_{n} = (-1)^n * b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$
{ $b_{n}$ }是递减序列，换句话说 $b_{n=1}' < 0$

解决方案:

$b_{n}=\frac{10}{n!}$

$1. \lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{10}{n!} =0$

2.{ $b_{n}$ }是一个递减序列

$b_{1} = \frac{10}{1},b_{2}=\frac{10}{2}, b_{3} = \frac{10}{3*2}...$

因为阶乘总是递增的，序列总是递减的。

由于两个检验都通过了，所以这个级数是收敛的。

步骤2:

代入n个值直到 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

$b_{7} = \frac{1}{504} > \frac{1}{1000}$

$b_{8} = \frac{1}{4032} < \frac{1}{1000}$

所以需要7项来近似。001以内的总和。

报告错误

示例问题164:微积分

确定需要添加多少项来近似下面的级数 $\frac{1}{1000}$ ：

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{4}{(n!)^2}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个交变级数试验。

为了找到必要的项来近似其中的级数 $\frac{1}{1000}$ 首先用交替级数检验看这个级数是否收敛。如果级数收敛，求出n满足 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

步骤1:

交替级数可以被识别，因为级数中的项将在+和-之间“交替”，因为 (-1)^n

注:交替级数检验只能显示收敛性。它不能显示出散度。

如果以下两个检验成立，则交替级数收敛。

$a_{n} = (-1)^n * b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$
{ $b_{n}$ }是递减序列，换句话说 $b_{n=1}' < 0$

解决方案:

$b_{n}=\frac{4}{(n!)^2}$

1. $\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{4}{(n!)^2} =0$

2.{ $b_{n}$ }是递减函数，因为阶乘永远不会递减。

由于两个检验都通过了，所以这个级数是收敛的。

步骤2:

代入n个值直到 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

$b_{4}=\frac{4}{(4!)^2}=\frac{1}{144} > \frac{1}{1000}$

$b_{5}=\frac{4}{(5!)^2}=\frac{1}{3600} < \frac{1}{1000}$

需要加上4来近似内的和 $\frac{1}{1000}$ ．

报告错误

问题62:系列类型

确定需要添加多少项来近似下面的级数 $\frac{1}{1000}$ ：

$\sum_{n=1}^{\infty} cos(n\pi)\frac{13}{n^5}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个交变级数试验。

为了找到必要的项来近似其中的级数 $\frac{1}{1000}$ 首先用交替级数检验看这个级数是否收敛。如果级数收敛，求出n满足 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

步骤1:

交替级数可以被识别，因为级数中的项将在+和-之间“交替”，因为 $cos(n\pi)$

注:交替级数检验只能显示收敛性。它不能显示出散度。

如果以下两个检验成立，则交替级数收敛。

$a_{n} = cos(n\pi) * b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$
{ $b_{n}$ }是递减序列，换句话说 $b_{n=1}' < 0$

解决方案:

$b_{n}=\frac{13}{n^5}$

1. $\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{13}{n^5} =0$

2. $b_{n}'=(\frac{13}{n^5})'$

$b_{n}'=13(\frac{1}{n^5})' = -13(\frac{(n^5)'}{n^{10}})$

$b_{n}'=-13*5\frac{n^4}{n^{10}} = -65\frac{1}{n^6}$

$b_{1}'=-65\frac{1}{1^6} = -65 < 0$

由于两个检验都通过了，所以这个级数是收敛的。

步骤2:

代入n个值直到 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

$b_{6}=\frac{13}{6^5} = \frac{13}{7776} > \frac{1}{1000}$

$b_{7}=\frac{13}{7^5} = \frac{13}{16807} < \frac{1}{1000}$

需要7项来近似0.001以内的总和

报告错误

问题63:系列类型

确定需要添加多少项来近似下面的级数

$\frac{1}{1000}: \sum_{n=1}^{\infty} cos(n\pi)\frac{50}{n!^3}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

这是一个交变级数试验。

为了找到必要的项来近似其中的级数 $\frac{1}{1000}$ 首先用交替级数检验看这个级数是否收敛。如果级数收敛，求出n满足 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

步骤1:

交替级数可以被识别，因为级数中的项将在+和-之间“交替”，因为 $cos(n\pi)$

注:交替级数检验只能显示收敛性。它不能显示出散度。

如果以下两个检验成立，则交替级数收敛。

$a_{n} = cos(n\pi) * b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 0$
{ $b_{n}$ }是递减序列，换句话说 $b_{n=1}' < 0$

解决方案:

$b_{n}=\frac{50}{n!^3}$

1. $\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{50}{n!^3} =0$

2.{{b_{n}}是一个递减序列。A的阶乘总是随着n的增加而增加，所以每一项都会随着n的增加而减少。

由于两个检验都通过了，所以这个级数是收敛的。

步骤2:

代入n个值直到 $b_{n+1} < \frac{1}{1000}$

$b_{4}=\frac{50}{4!^3} = \frac{25}{6912} > \frac{1}{1000}$

$b_{5}=\frac{13}{7^5} = \frac{1}{34560} < \frac{1}{1000}$

需要添加4项来近似。001范围内的总和

报告错误

问题64:系列类型

判断级数是收敛还是发散:

$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^n(\frac{2n}{n^3})$

可能的答案:

这个级数(绝对)收敛

级数是发散的

级数可以是绝对收敛的、条件收敛的或发散的

该级数是条件收敛的

正确答案:

这个级数(绝对)收敛

解释：

为了确定给定的交替级数是收敛的还是发散的，我们必须执行交替级数检验，即对于给定的级数

$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}$ 和 $a_{n}=(-1)^nb_{n}$ 或 $(-1)^{n-1}b_{n}$ ，级数要收敛， $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$ 和 $b_{n}$ 一定是递减的。

首先，我们必须取的极限 $b_{n}$ 当n趋于无穷时:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n}{n^3}=0$ 因为 $\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{n^3}{n^3}(\frac{2n^{-1}}{1})=0$ (分子趋于0)

接下来，我们必须看看 $b_{n}$ 是减少的。简单的增加来 n+1 由于分子和分母都增加，不能清楚地显示函数是否在减小。所以，我们必须求出一阶导数看看它是否为负

$f(n)=\frac{2n}{n^3}$ ， $f'(n)=-\frac{4}{n^3}$

并被发现使用以下规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$ ， $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

导数总是负的 n=0 来 $n= \infty$ ，那么这个序列 $b_{n}$ 是减少的。这个级数是(绝对)收敛的，因为它通过了测试的两个部分。

报告错误

问题65:系列类型

确定级数是收敛的还是发散的:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{8n^3+7n^2}{6n^3-4n^2}$

可能的答案:

这个级数(绝对)收敛

该级数是条件收敛的

级数可以是条件收敛的，(绝对)收敛的，或发散的

级数是发散的

正确答案:

级数是发散的

解释：

为了确定级数是收敛的还是发散的，我们必须使用交替级数检验，即对于给定的级数 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}$ ,在那里 $a_{n}=(-1)^nb_{n}$ 或 $(-1)^{n+1}b_{n}$ ,如果 $\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$ 和 $b_{n}$ 递减，那么级数是收敛的。

首先，我们必须求极限 $b_{n}$ 作为趋于无穷时:

$\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{8n^3+7n^2}{6n^3-4n^2}=\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{n^3}{n^3})(\frac{8+7n^{-1}}{6-4n^{-1}})=\frac{8}{6}\neq0$

因此，检验失败，级数发散。

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问题21:交替系列

判断下列级数是收敛的还是发散的:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{2n^2-n}{2n^2+5n}$

可能的答案:

级数可以是(绝对)收敛的、条件收敛的或发散的

该级数是条件收敛的

这个级数(绝对)收敛

级数是发散的

正确答案:

级数是发散的

解释：

首先，我们必须求极限 $b_{n}$ 作为趋于无穷时:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n^2-n}{2n^2+5n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^2}{n^2}(\frac{2-n^{-1}}{2+5^{-1}})=1\neq0$

测试失败，因此级数是发散的。

报告错误

问题21:交替系列

确定级数是收敛的还是发散的:

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n^4}{20n^3+n^2}$

可能的答案:

级数可以是(绝对)收敛的、条件收敛的或发散的

这个级数(绝对)收敛

该级数是条件收敛的

级数是发散的

正确答案:

级数是发散的

解释：

首先，我们必须求极限 $b_{n}$ 作为趋于无穷时:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^4}{20n^3+n^2}=\frac{n^4}{n^4}(\frac{1}{20n^{-1}+n^{-2}})=\infty \neq0$

测试失败，因此级数是发散的。

报告错误

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