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微积分1:相对最大值

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例子问题

问题1:如何通过绘图函数在间隔内找到相对的最大值

鉴于

$\small g(x)=x^3+4x^2$

找到-区间上相对最大值的坐标 (-5,0) ．

可能的答案:

不能确定的

$\small x=-\frac{8}{3}$

$\small \small x=0$

$\small \small x=\frac{8}{3}$

$\small x=4$

正确答案:

$\small x=-\frac{8}{3}$

解释：

为了找到相对最大值，我们需要找到一阶导数改变符号的位置。要做到这一点，先求出一阶导数然后求出它等于0的地方。

首先:

$\small g(x)=x^3+4x^2$

$\small \small g'(x)=3x^2+8x$

$\small \small \small g'(x)=x(3x+8)$

$\small g'(x)=0$ 在 $\small x=0, x=-\frac{8}{3}$

这意味着我们有x=0和x=-8/3处的极值

因为我们只关心从-5到0的区间，所以我们只需要测试该区间上的点。尝试两个极值之间的点，以及-8/3和-5之间的点。

$\small \small \small g'(-1)=3*(-1^2)+8*-1=3+-8=-5$

$\small g'(-4)=3*(-4)^2+(8*-4)=48-32=16$

所以一阶导数在-8/3处从负到正，因此这是相对最大值在这个区间的x坐标。

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问题2:如何通过绘图函数在间隔内找到相对的最大值

其中是函数的最大值

$f(x)=x^{5}-5x^{3}+10x-3$

的时间间隔 [-2, 2] ？

可能的答案:

$x=\sqrt{2}$

x=1

x=-2

x=2

正确答案:

x=2

解释：

虽然有相对的最大值 $x=-\sqrt{2}$ 和 x=1 （通过将函数的一阶导数设置为零并求解x得出。）当 x=2 . 当沿着区间寻找极值时，寻找一阶导数的零点并不能解释端点极值。

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示例问题#3：如何通过绘图函数在间隔内找到相对的最大值

确定函数的相对最大值：

f(x)=x^3+x^2-x+1

可能的答案:

$x=-1, \frac{1}{3}$

x=0

$x=\frac{1}{3}$

x=-1

正确答案:

x=-1

解释：

为了确定函数的相对极大值，我们必须确定函数的一阶导数从正到负的位置。

函数的一阶导数是

f'(x)=3x^2+2x-1

并使用以下规则找到：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n=nx^{n-1}$

接下来，我们必须找到一阶导数为零的临界点:

(3x-1)(x+1)=0

$c=-1, \frac{1}{3}$

使用临界值，我们可以创建评估一阶导数符号的区间：

$(-\infty, -1), (-1, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \infty)$

为了检查一阶导数的符号，将每个区间上的任意值代入一阶导数函数。在第一个区间，一阶导数是正的，在第二个区间，它是负的，在第三个区间，它是正的。一阶导数在at处由正变为负 x=-1 所以这里存在一个相对最大值。

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示例问题#4：如何通过绘图函数在间隔内找到相对的最大值

求的局部最大值

f(x)=2x^3-15x^2+24x+1

使用下面的方程和/或图表。

Graph2

可能的答案:

$\infty$

正确答案:

解释：

我们注意到这个函数有两个极值位于 x=1 和 x=4 . 我们也可以通过查看函数本身来发现这一点：

f(x)=2x^3-15x^2+24x+1 ．

我们知道当函数的斜率为零时，存在极值，因此我们取导数，将其设为零，然后求解x。

其导数如下:

f'(x)=6x^2-30x+24=6(x^2-5x+4)=6(x-1)(x-4) ．

因此，将两个部分设置为零，我们将看到以下内容：

$6(x-1)=0\Rightarrow x=1$ 和 $x-4=0\Rightarrow x=4$ ．

然而，要找出这些x值中的一个是否产生局部最小值或最大值，需要一阶导数检验，二阶导数检验，或分析图。我们在附近的小社区看到了这种情况 x=1 ， f(1)=12 是最大项，因此它是局部最大值。类似地，对于附近的小社区 x=4 ， f(4)=-15 是最小的术语，因此 f(4) 为局部最小值。

因此，当 x=1 是唯一一个局部最大值出现的地方。记住，最大的不是x值，而是对应的y值。

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