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微积分1:变化率

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例子问题

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例子问题1:如何求变化率

确定函数的平均变化率 y=-cos(x) 的时间间隔 $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$ ．

可能的答案:

$\frac{2}{\pi}$

$\pi$

$\frac{\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{2}{\pi}$

解释：

写出计算平均变化率的公式。

$\frac{\Delta f}{\Delta x}= \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$

代入这些值并解出平均变化率。

$\frac{-cos(\pi)-(-cos(\frac{\pi}{2}))}{\pi-\frac{\pi}{2}} = \frac{-(-1)+0}{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}$

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例子问题2:如何求变化率

求一个函数的变化率 f(x)=2x-9 从 $x_{1}=3$ 来 $x_{2}=6$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

写出区间内平均变化率的公式 $[{x_{1},x_{2}}]$ ．

$\frac{f(x_2)-f(x_{1})}{x_2-x_1}$

解出 f(x_2) 而且 f(x_1) ．

f(x_2=6)=2(6)-9=3

f(x_1=3)=2(3)-9=-3

将已知值代入公式求解。

$\frac{f(x_2)-f(x_{1})}{x_2-x_1}=\frac{3-(-3)}{6-3}=\frac{6}{3}=2$

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示例问题3:如何求变化率

假设正方形的速率以恒定的速率增加米每秒。用正方形的周长求出面积的变化率。

可能的答案:

$\frac{1}{4}P$

$\frac{1}{2}P$

$2\sqrt2P$

正确答案:

解释：

因为题目要求的是周长的变化率，写出方框周长的公式然后对时间求导。

P=4s

$\frac{dP}{dt}= 4\frac{ds}{dt}$

问题是关于周长的。隔离期限两边除以4。

$s=\frac{P}{4}$

用数学术语写出给定的速率，并把这个值代入 $\frac{dP}{dt}$ ．

$\frac{ds}{dt}=2$

$\frac{dP}{dt}= 4\frac{ds}{dt}=4(2)=8$

写出正方形的面积，代入边长。

$A=s^2=\left(\frac{P}{4}\right)^2=\frac{P^2}{16}$

由于面积随时间变化，对面积对时间求导。

$\frac{dA}{dt}=\frac{P}{8} \cdot \frac{dP}{dT}$

代入的值 $\frac{dP}{dt}$ ．

$\frac{dA}{dt}=\frac{P}{8} \cdot 8=P$

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示例问题4:如何求变化率

确定函数上不变的点: y=x^2-36x+6

可能的答案:

(36.6)

(18,-318)

(0,6)

(18,6)

(6,36)

正确答案:

(18,-318)

解释：

为了确定函数在哪里不变，有必要求导并设斜率为零。这将提供关于曲线在哪里没有变化的信息。一旦我们找到了使导数斜率为0的x值，我们就可以把x值代回到原始函数中来得到这个点。

y=x^2-36x+6

y'=2x-36

0=2x-36

36=2x

x=18

把这个值代回原方程来解．

y=18^2-36(18)+6 = 324-648+6 = -318

函数不变的点是 (18,-318) ．

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示例问题5:如何求变化率

函数的 y=10 的平均变化率是多少 x=1 来 x=3 ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

写出平均变化率的公式。

$\frac{f(x_f)-f(x_i)}{x_f-x_i}$

确定的值 x_f 而且 x_i ．

f(x_f)=f(x_i)=10

x_i=1

x_f=3

代入已知值。

$\frac{f(x_f)-f(x_i)}{x_f-x_i}=\frac{10-10}{3-1}=0$

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示例问题6:如何求变化率

求一个函数的变化率 f(x)=5x+9 从 x_1=4 来 x_2=6 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们可以用平均变化率的公式来求解: $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$ 解 f(x) 在给定点处:

f(x_1)=f(4)=5(4)+9=20+9=29

f(x_2)=f(6)=5(6)+9=30+9=39

将我们的值代入平均变化率公式，我们得到:

$\frac{(39-29)}{(6-4)}=\frac{10}{2}=5$

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示例问题7:如何求变化率

求一个函数的变化率 f(x)=9x+7 从 x_1=7 来 x_2=8

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们可以用平均变化率的公式来求解: $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$ ．解 f(x) 在给定点处:

f(x_1)=f(7)=9(7)+7=63+7=70

f(x_2)=f(8)=9(8)+7=72+7=79

将我们的值代入平均变化率公式，我们得到:

$\frac{(79-70)}{(8-7)}=\frac{9}{1}=9$

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示例问题8:如何求变化率

求一个函数的变化率 f(x)=3x+7 从 x_1=2 来 x_2=3 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们可以用平均变化率的公式来求解: $\frac{f(x_2)-f(x_1) }{x_2-x_1}$ ．解 f(x) 在给定点处:

f(x_1)=f(2)=3(2)+7=6+7=13

f(x_2)=f(3)=3(3)+7=9+7=16

将我们的值代入平均变化率公式，我们得到:

$\frac{(16-13)}{(3-2)}=\frac{3}{1}=3$

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示例问题9:如何求变化率

求一个函数的变化率 f(x)=4x+9 从 x_1=1 来 x_2=2 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们可以用平均变化率的公式来求解:

$\frac{ f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ ．

解 f(x) 在给定点处:

f(x_1)=f(1)=4(1)+9=4+9=13

f(x_2)=f(2)=4(2)+9=8+9=17

将我们的值代入平均变化率公式，我们得到:

$\frac{17-13}{2-1}=\frac{4}{1}=4$

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示例问题10:如何求变化率

求一个函数的变化率 f(x)=6x-7 从 x_1=5 来 x_2=6 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们可以用平均变化率的公式来求解:

$\frac{ f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ ．

解 f(x) 在给定点处:

f(x_1)=f(5)=6(5)-7=30-7=23

f(x_2)=f(6)=6(6)-7=36-7=29

将我们的值代入平均变化率公式，我们得到:

$\frac{29-23}{6-5}=\frac{6}{1}=6$

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