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微积分1:变化率

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例子问题

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问题81:变化率

矩形的边长为 2+t^3 而且 1+t^2 ．当时面积的增长率是多少 t=3 ?

可能的答案:

145

444

162

290

212

正确答案:

444

解释：

矩形的面积由它的边的乘积给出:

A=wl

A(t)=(2+t^3)(1+t^2)

A(t)=t^5+t^3+2t^2+2

面积的变化率可以通过对时间求导得到:

我们将使用幂法则，

$x^n\ dx=nx^{n-1}$

求出下面的导数。

$\frac{dA(t)}{dt}=5t^4+3t^2+4t$

$\frac{dA(3)}{dt}=5(81)+3(9)+4(3)$

$\frac{dA(3)}{dt}=405+27+12$

$\frac{dA(3)}{dt}=444$

报告错误

问题82:变化率

圆在任意时刻的半径由方程给出 3+t^4 ．当圆的面积为时，它的面积的增长率是多少 $361\pi$ ?

可能的答案:

$608\pi$

$1024\pi$

$512\pi$

$1216\pi$

$612\pi$

正确答案:

$1216\pi$

解释：

圆的面积由方程给出:

$A=\pi r^2$

$A(t)=\pi(3+t^4)^2$

求出满足问题中给定面积的时间:

$361\pi=\pi(3+t^4)^2$

(3+t^4)^2=361

3+t^4=19

t^4=16

t=2

现在已知了时间，为了求出面积的增长率，对面积方程求关于时间的导数:

我们将使用幂法则，

$x^n\ dx=nx^{n-1}$

链式法则，

$f(g(x))dx=f'(g(x))\cdot g'(x)$

求出下面的导数。

$\frac{dA(t)}{dt}=2\pi(4t^3)(3+t^4)$

$\frac{dA(2)}{dt}=2\pi(4(2)^3)(3+(2)^4)$

$\frac{dA(2)}{dt}=2\pi(32)(19)$

$\frac{dA(2)}{dt}=1216\pi$

报告错误

问题83:变化率

直角三角形的两条边以 2+t^2 而且 t^3 ．斜边在时间上的增长率是多少 t=2 ?

可能的答案:

$2\sqrt10$

$4\sqrt10$

$2\sqrt5$

正确答案:

解释：

直角三角形斜边的长度由勾股定理给出:

c^2=a^2+b^2

c^2(t)=(2+t^2)^2+(t^3)^2

$c(t)=\sqrt{t^6+t^4+4t^2+4}$

因此，斜边的变化率可以通过对方程求导得到:

我们将使用幂法则，

$x^n\ dx=nx^{n-1}$ 链式法则，

$f(g(x))dx=f'(g(x))\cdot g'(x)$

求出下面的导数。

$\frac{dc(t)}{dt}=\frac{6t^5+4t^3+8t}{2\sqrt{t^6+t^4+4t^2+4}}$

$\frac{dc(2)}{dt}=\frac{192+32+16}{2\sqrt{64+16+16+4}}$

$\frac{dc(2)}{dt}=\frac{240}{2\sqrt{100}}$

$\frac{dc(2)}{dt}=12$

报告错误

问题84:变化率

球体在任何时候的半径由这个表达式决定 1+2t^2+t^3 ．球体体积在一段时间内的增长率是多少 t=2 ?

可能的答案:

$89632\pi$

$\frac{19652}{3}\pi$

$6000\pi$

$\frac{32000}{3}\pi$

$23120\pi$

正确答案:

$23120\pi$

解释：

球体的体积由以下表达式给出:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$V(t)=\frac{4}{3}\pi (1+2t^2+t^3)^3$

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

我们用链式法则，

$f(g(x))dx=f'(g(x))\cdot g'(x)$

求出下面的导数。

$\frac{dV(t)}{dt}=4\pi (4t+3t^2)(1+2t^2+t^3)^2$

$\frac{dV(2)}{dt}=4\pi (20)(17)^2$

$\frac{dV(2)}{dt}=23120\pi$

报告错误

问题85:变化率

立方体的体积以。的速度增长 3+t^2 ．边在时间上的增长率是多少 t=3 如果立方体的初始体积是?

可能的答案:

$\sqrt[3]6$

$\sqrt[3]{12}$

$\frac{4}{9}$

正确答案:

$\frac{4}{9}$

解释：

我们已知立方体体积的变化率:

$\frac{dV(t)}{dt}=3+t^2$

体积方程可以通过对这个函数对时间积分得到:

我们将使用下面的规则，

$\int x^n\ dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 求出下面的积分。

$V(t)=3t+\frac{1}{3}t^3+C$

积分常数可由初始条件求出:

$V(0)=3(0)+\frac{1}{3}(0^3)+C=9$

C=9

体积的:把体积作为时间的函数的:

$V(t)=3t+\frac{1}{3}t^3+9$

现在，求出时刻的体积 t=3 ：

$V(3)=3(3)+\frac{1}{3}3^3+9$

V(3)=9+9+9

V(3)=27

由此我们可以求出此时边长:

V(t)=s(t)^3

s(3)^3=V(3)=27

s(3)=3

现在，让我们返回体积方程 V(t)=s(t)^3 ；我们可以通过对两边对时间求导来表示变化率:

$\frac{dV(t)}{dt}=3s(t)^2\frac{ds(t)}{dt}$

在时间 t=3

$\frac{dV(3)}{dt}=3s(3)^2\frac{ds(3)}{dt}$

$\frac{ds(3)}{dt}=\frac{3+t^2}{3s(3)^2}$

$\frac{ds(3)}{dt}=\frac{12}{27}$ (回想一下, s(3)=3 ）

$\frac{ds(3)}{dt}=\frac{4}{9}$

报告错误

问题81:如何求变化率

求由这些点相连的直线的变化率 (1, 7) 而且 (4, 28) ．

可能的答案:

m=28

m=7

m=0

m=x

m=4

正确答案:

m=7

解释：

求两点相连的直线的变化率。我们用下面的方程求斜率。

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{28-7}{4-1}=\frac{21}{3}=7$

直线的变化率是

报告错误

问题171:率

$z=x^{3}-2y^{2}$ 在哪里，,一切都随时间而改变。当 x=3 而且 y=4 ，的变化率 5 units/s 而且的变化率 7 units/s ．以多少比率改变吗?

可能的答案:

$\frac{dz}{dt}=17$

$\frac{dz}{dt}=203$

$\frac{dz}{dt}=23$

$\frac{dz}{dt}=12$

$\frac{dz}{dt}=1$

正确答案:

$\frac{dz}{dt}=23$

解释：

它的速率改变的是 $\frac{dz}{dt}$ ．这一发现 $\frac{dz}{dt}$ ，我们就能求出方程的一阶导数

$z=x^{3}-2y^{2}$

$\frac{d}{dt}(z)=\frac{d}{dt}\left [x^{3}-2y^{2} \right ]=3x^{2}\frac{dx}{dt}-4y\frac{dy}{dt}$

已知以下参数

x=3 ， y=4 ， $\frac{dx}{dt}=5 units/s$ , $\frac{dy}{dt}=7 units/s$ ．

把这些值代入导数方程

$\frac{dz}{dt}=3x^{2}\frac{dx}{dt}-4y\frac{dy}{dt}$

$\frac{dz}{dt}=3(3)^{2}(5)-4(4)(7)=135-112=23$

报告错误

问题88:变化率

直角三角形有两条长度相等的边 6in 而且 8 in ．长腿的生长速度是 $0.3\frac{in}{s}$ ．如果斜边不改变长度，短边的变化率是多少?

可能的答案:

$-0.225\frac{in}{s}$

$-0.3\frac{in}{s}$

$-0.5\frac{in}{s}$

$-0.4\frac{in}{s}$

$-0.2\frac{in}{s}$

正确答案:

$-0.4\frac{in}{s}$

解释：

斜边与直角三角形两条边的长度关系由勾股定理表示:

a^2+b^2=c^2

这个定理也可以用来说明，如果我们对方程的每一边对tot ime求导，每个参数的变化率是如何相关的:

$2a\frac{da}{dt}+2b\frac{db}{dt}=2c\frac{dc}{dt}$ 或者简单地 $a\frac{da}{dt}+b\frac{db}{dt}=c\frac{dc}{dt}$

治疗作为较小的边和对于长边， a= 6in ， b=8in ， $\frac{db}{dt}=0.3\frac{in}{s}$ ．因为此刻斜边的长度不变， $\frac{dc}{dt}=0$ ．这使得我们可以在上面的方程中代入项:

$6in\frac{da}{dt}+8in(0.3\frac{in}{s})=c(0)=0$

(在这种情况下，没有必要计算它 c=10in ）

解 $\frac{da}{dt}$ ：

$6in\frac{da}{dt}=-2.4\frac{in^2}{s}$

$\frac{da}{dt}=-0.4\frac{in}{s}$

报告错误

问题89:变化率

$z=3x^{2}y^{4}$ 在哪里，,一切都随时间而改变。当 x=1 而且 y=3 ，的变化率 2 units/s 而且的变化率 4 units/s ．以多少比率改变吗?

可能的答案:

$\frac{dz}{dt}=812$

$\frac{dz}{dt}=2268$

$\frac{dz}{dt}=57$

$\frac{dz}{dt}=3$

$\frac{dz}{dt}=0$

正确答案:

$\frac{dz}{dt}=2268$

解释：

它的速率改变的是 $\frac{dz}{dt}$ ．这一发现 $\frac{dz}{dt}$ ，我们就能求出方程的一阶导数

$z=3x^{2}y^{4}$

自而且两者都随时间变化，所以求导时必须使用乘积法则。

乘积法则是 $\frac{d}{dt}(ab)=a\frac{d}{dt}(b)+b\frac{d}{dt}(a)$ ．

一阶导数是

$\frac{d}{dt}(z)=\frac{d}{dt}[3x^{2}y^{4}]=3\left [x^{2}\frac{d}{dt}(y^{4})+y^{4}\frac{d}{dt}(x^{2}) \right ]$

$\frac{dz}{dt}=3\left [x^{2}(4y^{3})\frac{dy}{dt}+y^{4}(2x)\frac{dx}{dt} \right ]$

$\frac{dz}{dt}=3\left [4x^{2}y^{3}\frac{dy}{dt}+2xy^{4}\frac{dx}{dt} \right ]$

已知以下参数

x=1 ， y=3 ， $\frac{dx}{dt}=2 units/s$ , $\frac{dy}{dt}=4 units/s$ ．

把这些值代入导数方程

$\frac{dz}{dt}=3\left [4x^{2}y^{3}\frac{dy}{dt}+2xy^{4}\frac{dx}{dt} \right ]$

$\frac{dz}{dt}=3\left [4(1)^{2}(3)^{3}(4)+2(1)(3)^{4}(2) \right ]$

$\frac{dz}{dt}=3\left [432+324 \right ]=2268$

报告错误

问题90:变化率

求由这些点相连的直线的变化率 (0, 4) 而且 (12, -7) ．

可能的答案:

$\frac{-12}{7}$

$\frac{-11}{12}$

$\frac{1}{12}$

正确答案:

$\frac{-11}{12}$

解释：

求两点相连的直线的变化率。我们用下面的方程求斜率。

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-7-4}{12-0}=\frac{-11}{12}$

直线的变化率是 $\frac{-11}{12}$ ．

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