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微积分1:变化率

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例子问题

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问题2685:功能

汽车的位置是由这个方程确定的 $r(t)=5t^{2}-7t+6$ ．汽车的瞬时速度是多少 t=4 ?

可能的答案:

$v_{ins}=33$

$v_{ins}=-4$

$v_{ins}=30$

$v_{ins}=0$

正确答案:

$v_{ins}=33$

解释：

汽车的瞬时速度是给定点位置的一阶导数。

在这个问题中，

$r(t)=5t^{2}-7t+6$

$v_{ins}=r'(t)=10t-7$

$v_{ins}=r'(4)=10*4-7=40-7=33$

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问题#891:率

找到 $\frac{dy}{dx}$ 为 $f(x)= \frac{ln(x)}{x^8}$ ．

可能的答案:

$\frac{x-8ln(x)}{x^9}$

$\frac{-8}{x^9}+\frac{ln(x)}{x^8}$

$\frac{1-8ln(x)}{x^9}$

$\frac{8ln(x)}{x^9}$

正确答案:

$\frac{1-8ln(x)}{x^9}$

解释：

为了解决这个问题，我们可以使用除法法则或乘法法则。对于这个解决方案，我们将使用乘积法则。

乘法法则指出 $\frac{d(u*v)}{dx}=u'v+v'u$ ．

在这种情况下，让 $u=x^{-8}\Rightarrow u'=-8x^{-9}$ 而且 $v=ln(x)\Rightarrow v'=\frac{1}{x}$ ．

把这些放在一起，我们得到

$\frac{d(x^{-8}ln(x))}{dx}=-8x^{-9}ln(x)+\frac{1}{x}x^{-8}=\frac{1}{x^{9}}+\frac{-8ln(x)}{x^9}=\frac{1-8ln(x)}{x^9}$ ．

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问题2687:功能

求多元函数f(x,y)的切线的斜率

这一点 $(\frac{\sqrt{\pi }}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{2})$ ．

1=sin(x^2+y^2)

可能的答案:

1／2

－1

1/2

其他答案都没有

正确答案:

－1

解释：

为了求出切线在指定点处的斜率，我们必须首先验证指定点是否确实存在于曲线上。我们检查一下

$1=sin(x^2+y^2)=sin((\frac{\sqrt{\pi }}{2})^2+(\frac{\sqrt{\pi }}{2})^2)=sin(\frac{\pi }{2})=1$

既然验证通过了，问题就有了解决方案，我们可以继续进行隐式微分。

回想一下，对于隐函数微分，如果我们有一个关于y的函数，我们有它关于x的导数是

$\frac{d}{dx}[f(y)]=\frac{df}{dy}*\frac{dy}{dx}$

把这个应用到给定的函数上，就得到了这个

$\frac{d}{dx}[1=sin(x^2+y^2)]$

我们还必须利用链式法则来求导数;我们得到了

$0=cos(x^2+y^2)*[2x+2y\frac{dy}{dx}]$

代数上，我们除以cos项来分离dy/dx。然后我们得到

$0=2x+2y\frac{dy}{dx}$

$-2x=2y\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

为了得到切线的斜率，我们用指定的点(x,y)分别代替x和y。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}=-1$

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问题#801:如何求变化率

当气球的半径为1厘米时，气球的半径正以5厘米/秒的速度增加。假设气球是个球体，体积增加的速率是多少?

可能的答案:

$20\pi cm^3/s$

$20\pi cm^2/s$

$4\pi cm^3/s$

$12\pi cm^3/s$

$4\pi cm^2/s$

正确答案:

$20\pi cm^3/s$

解释：

球体的体积是

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

也可以写成关于时间的函数，即。

$V(t)=\frac{4}{3} \pi r(t)^3$ ．

如果对它求导，那么

$V'(t)=4 \pi r(t)^2 \frac{dr}{dt}$ ．

这个问题告诉我们半径的变化率是 5 cm/s 而且 $r=1 \text{cm}$ ．

代入这些值，我们发现

$V'(t)=4 \pi (1cm)^2\times 5 cm/s= 20\pi cm^3/s$ ．

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