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微积分1：如何用作图函数求直线方程

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例子问题

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问题1:线方程

直线tan (f(x) = 4x)的方程是什么^3.x - 2²+ 4在x = 5？

可能的答案:

其他答案都没有

y = 220x - 550

y = 44x + 245

y = 85x + 24

y = 280x - 946

正确答案：

y = 280x - 946

解释：

首先，对f(x)求导。这很简单:

f'（x）=12x²- 4 x

现在，x = 5处切线的斜率是f'(5)求值，这是:f'(5) = 12 * 5 * 5 - 4 * 5 = 300 - 20 = 280

现在，我们必须找到原始直线上的交点:

F (5) = 4 * 5^3.– 2 * 5²+ 4 = 500 - 50 + 4 = 454

因此，切线交叉点的点是（5,454）。

利用线性方程的点斜式，我们可以求出直线:

（y - 454）= 280（x - 5）

Y - 454 = 280x - 1400

y = 280x - 946

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示例问题＃2：如何通过绘图函数找到线路的等式

找到切线线的等式 y=x^2-x+3 当时 (1,3) ．

可能的答案:

y=0.5x+1

y=x+2

y=2x+2

y=0.5x+2

正确答案：

y=x+2

解释：

切线方程是这样的 $y-y_{0}=m(x-x_{0})$ ，在哪里这条线的斜率是多少 $(x_{0},y_{0})=(1,3)$ ．

要找到斜坡，我们需要评估衍生物 x=1 ：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2-x+3)}{dx}=2x-1\Rightarrow m=f'(1)=2*1-1=1$

现在有了斜率，就可以用点斜公式求出切线方程了:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\Rightarrow y-3=1(x-1)\Rightarrow y=x+2.$

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示例问题＃3：如何通过绘图函数找到线路的等式

找到切线线的等式 f(x) 在 x=0 ．

$f(x)=e^{3x} +x^2$

可能的答案:

y=3

y=x^2 +2

$y=3e^{3x} +2x$

y=3x+1

y=3x+2

正确答案：

y=3x+1

解释：

要找到该点的线路的等式，您需要两件事：在该点处的斜率和函数的y调整 y=mx+b ，其中m为斜率和为y调整。要得到斜率，请找到 f(x) 并插入所需的点为了，给我们一个答案的斜率。

$f'(x)=3e^{3x} + 2x$

f'(0)=3

要查找y调整，请在原始坐标系中拾取点0 f(x) 功能。为了简单起见，让我们插入 x=0 ，这给了我们1的Y，所以很容易 (0,1) ．然后把这些值代入直线方程， y=mx + b ．代入所有参数的新方程为

1=(3)(0)+b

现在你只需解,这是．

直线的最终方程 f(x) 在 x=0 是 y=3x+1

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问题1:线方程

找到切线线的等式 f(x) 在 x=2 ．

f(x)= ln(2x+1) +3

可能的答案:

y=2x +3

$y=\frac{2}{5}x$

y=3x

$y=\frac{2}{3}x$

$y=\frac{2}{5}x +3$

正确答案：

$y=\frac{2}{5}x +3$

解释：

要得到斜率，请找到 f(x) 并插入所需的点为了，给我们一个答案 $\frac{2}{5}$ 的斜率。

$f'(x)=\frac{2}{2x+1}$

$f'(2)=\frac{2}{5}$

记住 $ln(u) = \frac{u'}{u}$ ．

找到选择一个点（例如）在原文中 f(x) 功能。为了简单起见，让我们插入 x=0 ，得到a的，所以一个简单的观点是 (0,3) ．然后把这些值代入直线方程， y=mx + b ．代入所有参数的新方程为

$3=\frac{2}{5}(0)+b$

前面的系数是斜坡。

现在你只需解,这是．

直线的最终方程 f(x) 在 x=2 是 $y=\frac{2}{5}x +3$ ．

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问题5:如何通过绘图函数找到线路的等式

找到切线线的等式 y=sin(2x) 在 $\frac{\pi }{2}$ ．

可能的答案:

y=-2x+1

$y=2x-\pi$

y=0

$y=-2x+\pi$

y=2cos(2x)

正确答案：

$y=-2x+\pi$

解释：

切线线的等式是 y=mx+b. 找到，求斜率，求导数，代入需要的点。

y'=2cos(2x)

$y'=2cos\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right)$

$y'=2cos(\pi)$

$y'\left(\frac{\pi}{2} \right )=-2$

下一步是在原版上选择一个坐标功能。我们可以选择任何值并计算其价值

让我们选择 $\frac{\pi }{2}$ ．

$y=sin\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right)=sin(\pi)=0$

的这个点的值是．

代入我们能求出的值．

$0=(-2)\left(\frac{\pi }{2}\right)+b$

解我们得到了＝ $\pi$ ．

$y=-2x+\pi$

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问题6:如何通过绘图函数找到线路的等式

一个函数,，是（谁）给的

f(x)=x^2-sin(x) ．

找到与直线相切的直线在 $x=\frac{\pi}{2}$ ．

可能的答案:

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{2}$

$y=\frac{\pi}{2} x-\frac{\pi^2}{4}$

$y=2\pi x-\frac{\pi^2}{2}+1$

$y=\pi x-1$

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{4}-1$

正确答案：

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{4}-1$

解释：

首先我们需要求斜率在 $x=\frac{\pi}{2}$ ．这样做，我们需要衍生的．为了求导，我们需要对第一项使用幂法则并且认识到sin的导数是cos。

$\frac{df}{dx}=2x-cos(x)$

在,

$x=\frac{\pi}{2}, \frac{df}{dx}=\pi$

现在我们需要知道

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{4}-1$ ．

现在我们有了一个斜坡， $m=\pi$ 和一个点 $(x_1,y_1)=\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi^2}{4}-1\right)$

所以我们可以用点斜率公式来求直线方程。

y-y_1=m(x-x_1)

代入，重新排列

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{4}-1$ ．

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问题7:如何通过绘图函数找到线路的等式

让 f(x)=2x^4+e^x-ex ．

求直线的切线方程 f(x) 什么时候 x=1 ．

可能的答案:

y-2=8(x-1)

y-8=2(x-1)

y+8=2(x+1)

8y=2(x-1)

y-1=2(x-2)

正确答案：

y-2=8(x-1)

解释：

首先，评估 f(x) 什么时候 x=1 ．

$f(1)=2(1)^4+e^1-e(1)=2+0\textbf{=2}$

因此，我们需要一条包含该点的直线 (1,2)

接下来，找到衍生物 f(x) 然后在 x=1 ．

找到我们将使用电源规则的衍生品，

$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．

f'(x)=8x^3+e^x-e

f'(1)=8(1)^3+e^1-e=8+0=8

这表明我们需要一条斜率为8的直线。

在点斜式, $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，一条与点相连的线 (1,2) 斜率为8的是:

y-2=8(x-1)

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例子问题#8:如何通过绘图函数找到线路的等式

直线切线的方程是什么 $f(x)=\arctan (1-x^3)$ 在 x=-1 ？四舍五入到最近的百分位。

可能的答案:

y=0.2x

y=-0.6x

y=0.2x+1.31

y=-0.6

y=-0.6x+0.51

正确答案：

y=-0.6x+0.51

解释：

切线 f(x) 在 x=-1 必须具有与相同的坡度 f(x) ．

应用链式法则

$f'(x)=\frac{1}{1+(1-x^3)^2}(-3x^2)$ ．

因此线的斜率是，

$f'(-1)=-\frac{3}{5}=-0.6$ ．

此外，切线与的图形相接触 f(x) 在 x=-1 ．自 f(-1)=1.11 ,重点 (-1, 1.11) 在线上。

插入斜坡和点我们得到 y=-0.6x+0.51 ．

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问题9:如何通过绘图函数找到线路的等式

求切线方程

f(x)=x^4-x^2+x-5 ,在 x=1 ．

可能的答案:

y=3x+7

y=3x+1

y=3x-7

y=x

y=3x-1

正确答案：

y=3x-7

解释：

为了求出点处的切线方程 x=1 ，我们先求斜率。

要做到这一点，我们需要找到 f'(x) ．

f(x)=x^4-x^2+x-5

f'(x)=4x^3-2x+1

自从我们发现 f'(x) ，现在我们只是插入1。

f'(1)=4(1)^3-2(1)+1=3

现在我们需要代入1 f(x) ，求切线与之相接的点。

f(1)=(1)^4-(1)^2+1-5=-4

现在我们可以用点斜式来求出切线的方程 x=1 ．

记住点斜式是

y-y_0=m(x-x_0)

在哪里 x_0 和 y_0 是切线触摸的点 f(x) ，和是切线线的斜率。

在我们的例子中, x_0=1 ， y_0=-4 ，和 m=3 ．

y+4=3(x-1)

y+4=3x-3

因此，我们的切线方程 x=1 是

y=3x-7 ．

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示例问题＃10：如何通过绘图函数找到线路的等式

求直线的切线方程

f(x)=x^3+x ,在 x=1 ．

可能的答案:

y=4x-2

y=4x

y=-4x-2

y=2x+7

y=4x+2

正确答案：

y=4x-2

解释：

为了求出点处的切线方程 x=1 ，我们先求斜率。

要做到这一点，我们需要找到 f'(x) 使用幂次法则 $f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．

f(x)=x^3+x

f'(x)=3x^2+1

自从我们发现 f'(x) ，现在我们只是插入1。

f'(1)=3(1)^2+1=4

现在我们需要代入1 f(x) ，求切线与之相接的点。

f(1)=(1)^3+1=2

现在我们可以用点斜式来求出切线的方程 x=1 ．

记住点斜式是

y-y_0=m(x-x_0)

在哪里 x_0 和 y_0 是切线触摸的点 f(x) ，和是切线线的斜率。

在我们的例子中, x_0=1 ， y_0=2 ，和 m=4 ．

y-2=4(x-1)

y-2=4x-4

因此，我们的切线方程 x=1 是

y=4x-2 ．

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