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微积分1:直线

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例子问题

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例子问题1:如何通过绘制函数求直线长度

考虑一个函数一阶导数:

$\frac{dy}{dx}=\tan{x}$ ．

哪个积分可以计算沿这条曲线的长度 x=0 而且 $x=2\pi$ ？

可能的答案:

根据所提供的信息，这是不可能的。

$L=\int_{0}^{2\pi}{\tan^2{x}}\quad dx$

$L=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^2}}\quad dx$

$L=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{\cos{x}}}\quad dx$

$L=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{\sin{x}}}\quad dx$

正确答案:

$L=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{\cos{x}}}\quad dx$

解释：

为了确定两点之间曲线的长度，我们计算积分

$L = \int_0^{2\pi}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx} \right )^2}}dx$

有很多原因，但我们在这里给出一个非正式的解释: Canvas2

如果我们把这条曲线分成三条线段，我们可以看到它们与原来的曲线越来越相似。把所有的小斜边加起来，我们就能得到这条曲线的长度。注意,

$\sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx} \right )^2}dx$

如果我们把积分符号看作无限小部分的和，这就得到了长度的公式:

$L = \int_a^b{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx} \right )^2}}dx$ ．

回到刚才的问题，我们把导数代入长度公式:

$L=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\tan^2{x}}}\quad dx$

替代:

$L=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\left( \frac{\cos{x}}{\cos{x}} \right)^2+\left(\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \right )^2}}\quad dx$

简化:

$L=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}}+\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}}\quad dx$

$L=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\frac{\cos^2{x}+\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}}\quad dx$

通过三角恒等式，我们得到:

$L=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2{x}}}}\quad dx$

$L=\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{\cos{x}}}\quad dx$

例子问题2:如何通过绘制函数求直线长度

求点A到点B之间的线段长度:

可能的答案:

$\sqrt{338}$

$3\sqrt{2}$

$\sqrt{58}$

正确答案:

$\sqrt{338}$

解释：

两点之间的距离可以很容易地用距离公式求出:

$D=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

将我们给出的点应用于这个公式会得到:

$D=\sqrt{((-5)-2)^2+(10-(-7))^2}=\sqrt{(-7)^2+(17)^2}=\sqrt{338}$

这是其中一个选项。

例子问题1:直线方程

tan (f(x) = 4x)的方程是什么^3.x - 2²x = 5时+ 4 ?

可能的答案:

其他答案都没有

Y = 44x + 245

Y = 280x - 946

Y = 220x - 550

Y = 85x + 24

正确答案:

Y = 280x - 946

解释：

首先，求f(x)的导数。这很简单:

F '(x) = 12x²- 4 x

切线在x = 5处的斜率是f'(5)求值为:f'(5) = 12 * 5 * 5 - 4 * 5 = 300 - 20 = 280

现在，我们必须找到与原直线的交点:

F (5) = 4 * 5^3.- 2 * 5²+ 4 = 500 - 50 + 4 = 454

因此，切线交点为(5,454)。

利用线性方程的点斜形式，我们可以得到直线:

(y - 454) = 280(x - 5)

Y - 454 = 280x - 1400

Y = 280x - 946

例子问题1:行

求出切线的方程 y=x^2-x+3 在这一点上 (1,3) ．

可能的答案:

y=2x+2

y=0.5x+1

y=0.5x+2

y=x+2

正确答案:

y=x+2

解释：

切线的方程是这样的 $y-y_{0}=m(x-x_{0})$ ,在那里直线的斜率是和吗 $(x_{0},y_{0})=(1,3)$ ．

为了求斜率，我们需要求导数 x=1 ：

$\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2-x+3)}{dx}=2x-1\Rightarrow m=f'(1)=2*1-1=1$

现在我们有了斜率，我们可以用点斜公式确定切线方程:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\Rightarrow y-3=1(x-1)\Rightarrow y=x+2.$

例子问题3:直线方程

求出切线的方程 f(x) 在 x=0 ．

$f(x)=e^{3x} +x^2$

可能的答案:

y=x^2 +2

y=3

y=3x+2

y=3x+1

$y=3e^{3x} +2x$

正确答案:

y=3x+1

解释：

为了求出该点的直线方程，你需要两个东西:该点的斜率和函数的y坐标调整量 y=mx+b 式中，m为斜率是y调整量。求斜率，求导数 f(x) 代入目标点为，给出的答案是求斜率。

$f'(x)=3e^{3x} + 2x$

f'(0)=3

为了求y坐标的调整，在原点上取点0 f(x) 函数。简单起见，代入 x=0 ，得到y = 1，很简单 (0,1) ．然后把这些值代入直线方程， y=mx + b ．把所有参数都代入的新方程是

1=(3)(0)+b

现在你只需解出，即．

切线的最终方程 f(x) 在 x=0 是 y=3x+1

例子问题2:行

求出切线的方程 f(x) 在 x=2 ．

f(x)= ln(2x+1) +3

可能的答案:

$y=\frac{2}{3}x$

$y=\frac{2}{5}x$

y=2x +3

y=3x

$y=\frac{2}{5}x +3$

正确答案:

$y=\frac{2}{5}x +3$

解释：

求斜率，求导数 f(x) 代入目标点为，给出的答案是 $\frac{2}{5}$ 求斜率。

$f'(x)=\frac{2}{2x+1}$

$f'(2)=\frac{2}{5}$

记住它的导数 $ln(u) = \frac{u'}{u}$ ．

要找到调整选一个点(例如)在原文中 f(x) 函数。简单起见，代入 x=0 ，得到a的，所以很简单 (0,3) ．然后把这些值代入直线方程， y=mx + b ．把所有参数都代入的新方程是

$3=\frac{2}{5}(0)+b$

前面的系数是斜率。

现在你只需解出，即．

切线的最终方程 f(x) 在 x=2 是 $y=\frac{2}{5}x +3$ ．

例5:直线方程

求出切线的方程 y=sin(2x) 在 $\frac{\pi }{2}$ ．

可能的答案:

$y=-2x+\pi$

y=2cos(2x)

$y=2x-\pi$

y=0

y=-2x+1

正确答案:

$y=-2x+\pi$

解释：

切线的方程是 y=mx+b. 找到，求斜率，求导数，代入所需点。

y'=2cos(2x)

$y'=2cos\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right)$

$y'=2cos(\pi)$

$y'\left(\frac{\pi}{2} \right )=-2$

下一步是在原图上选择一个坐标函数。我们可以任意选择值并计算价值。

让我们选择 $\frac{\pi }{2}$ ．

$y=sin\left(2\cdot \frac{\pi}{2}\right)=sin(\pi)=0$

的此时的值为．

代入我们能解出的值．

$0=(-2)\left(\frac{\pi }{2}\right)+b$

解我们得到了＝ $\pi$ ．

$y=-2x+\pi$

例子问题6:直线方程

一个函数,，由

f(x)=x^2-sin(x) ．

求出切线在 $x=\frac{\pi}{2}$ ．

可能的答案:

$y=\pi x-1$

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{4}-1$

$y=2\pi x-\frac{\pi^2}{2}+1$

$y=\frac{\pi}{2} x-\frac{\pi^2}{4}$

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{2}$

正确答案:

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{4}-1$

解释：

首先我们需要求出的斜率在 $x=\frac{\pi}{2}$ ．为此，我们需要求导．要求导，我们需要对第一项使用幂法则并认识到sin的导数是cos。

$\frac{df}{dx}=2x-cos(x)$

在,

$x=\frac{\pi}{2}, \frac{df}{dx}=\pi$

现在我们需要知道

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi^2}{4}-1$ ．

现在我们有一个斜率， $m=\pi$ 还有一点 $(x_1,y_1)=\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi^2}{4}-1\right)$

我们可以用点斜公式求出直线的方程。

y-y_1=m(x-x_1)

插入和重新排列我们发现

$y=\pi x-\frac{\pi^2}{4}-1$ ．

示例问题7:直线方程

让 f(x)=2x^4+e^x-ex ．

求出切线的方程 f(x) 当 x=1 ．

可能的答案:

y+8=2(x+1)

y-8=2(x-1)

y-2=8(x-1)

8y=2(x-1)

y-1=2(x-2)

正确答案:

y-2=8(x-1)

解释：

首先,评估 f(x) 当 x=1 ．

$f(1)=2(1)^4+e^1-e(1)=2+0\textbf{=2}$

因此，我们需要一条包含该点的直线 (1,2)

接下来，求的导数 f(x) 并在 x=1 ．

为了求导数，我们要用幂法则，

$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．

f'(x)=8x^3+e^x-e

f'(1)=8(1)^3+e^1-e=8+0=8

这表明我们需要一条斜率为8的直线。

在点斜式中， $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ，直线与点 (1,2) 斜率是8

y-2=8(x-1)

例8:直线方程

直线的切线方程是什么 $f(x)=\arctan (1-x^3)$ 在 x=-1 ？四舍五入到最近的百分之一。

可能的答案:

y=0.2x+1.31

y=-0.6

y=0.2x

y=-0.6x+0.51

y=-0.6x

正确答案:

y=-0.6x+0.51

解释：

切线是 f(x) 在 x=-1 斜率必须和 f(x) ．

应用链式法则，我们得到

$f'(x)=\frac{1}{1+(1-x^3)^2}(-3x^2)$ ．

因此直线的斜率是，

$f'(-1)=-\frac{3}{5}=-0.6$ ．

另外，切线与的图形相交 f(x) 在 x=-1 ．自 f(-1)=1.11 重点是 (-1, 1.11) 谎言就在线上。

代入斜率和点 y=-0.6x+0.51 ．

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