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微积分1:如何求速率的比例常数

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例子问题

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例子问题1:如何求速率的比例常数

假设一个血细胞按现在的数量成比例增加。如果有首先是血细胞，然后血细胞出现后小时，生长常数是多少?

可能的答案:

$ln\left(\frac{3}{2}\right)$

$\frac{3}{2}$

$\frac{2}{3}$

$ln\left(\frac{2}{3}\right)$

$\frac{1}{2}ln\left(\frac{3}{2}\right)$

正确答案:

$\frac{1}{2}ln\left(\frac{3}{2}\right)$

解释：

人口规模 P(t) 过了一段时间是由:

P(t)= P_ie^k^t

在哪里 P_i 是初始总体。

一开始，有30个血细胞。

P_i=P(0)=30

把这个值代入给定的公式。

P(t)= 30e^k^t

2小时后，有45个血细胞出现。把它写成数学形式。

P(2)=45

把这个代入 P(t)= 30e^k^t ，求解．

45= 30e^k^(^2^)

$\frac{3}{2}= e^2^k$

$ln\left(\frac{3}{2}\right)=ln(e^2^k)$

$2k=ln\left(\frac{3}{2}\right)$

$k=\frac{1}{2}ln\left(\frac{3}{2}\right)$

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例子问题2:比例常数

给定任意线性函数 y=mx+b ，确定比例的直接常数

可能的答案:

$\frac{m}{b}$

$\frac{m-b}{m}$

m/b

正确答案:

解释：

对于任意给定的函数y，任意x值之间的比例常数，由

$r=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ,在那里方向是比例常数吗

在线性函数的情况下

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 等于斜率。

因此，比例常数为

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示例问题3:比例常数

的比例常数 x^2 从来 2.5 ．

可能的答案:

3.5

2.5

2.5

正确答案:

3.5

解释：

为了确定比例的直接常数，我们确定的变化率 x=1 而且 x=2.5 为 x^2 ．

变化率由

$r=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ．

在我们的例子中, y=x^2 之间的 x=1 而且 x=2.5 ，变化率为

$r=\frac{2.5^2-1}{2.5-1}=\frac{5.25}{1.5}=3.5$ ．

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示例问题4:比例常数

找出比例的直接常数的 y=ln(3x) 从 x=2 来 x=4 ．

可能的答案:

r= ln(12)-ln(6)

$r= \frac{2}{ln(2)}$

$r= \frac{ln(2)}{2}$

$r= \frac{6}{2ln(2)}$

正确答案:

$r= \frac{ln(2)}{2}$

解释：

比例常数是由

$r=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ．

自 y=ln(3x) 而且 $\Delta x= 4-2=2$

$r= \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{ln(3*4)-ln(3*2)}{2}= \frac{ln(2)}{2}$

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示例问题5:比例常数

假设一群细菌从 100 来 1000 在 $30\: min$ ．生长的常数是多少?

可能的答案:

这些

$e^{30}$

$\frac{\ln(10)}{30}$

$\ln(10)$

正确答案:

$\frac{\ln(10)}{30}$

解释：

人口增长的方程由 $P=Ae^{kt}$ ．是人口,是初值，是时间,是生长常数。我们可以代入已知的值 t=0 和解决．

$100=Ae^{0k}=A$

现在我们解出来了，我们可以代入已知的时间 t=30 和解决．

$1000=100e^{30k}$

$e^{30k}=10$

$30k=\ln(10)$

$k=\frac{\ln(10)}{30}$

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示例问题6:比例常数

鹿的数量在7年内从50只增加到200只。这个种群的增长常数是多少?

可能的答案:

$\frac{\ln(4)}{7}$

$\ln(4)$

$\ln(7)$

这些

$\frac{4}{7}$

正确答案:

$\frac{\ln(4)}{7}$

解释：

人口增长的方程由 $P=Ae^{kt}$ ．P是总体，是初值，是时间,是生长常数。我们可以代入已知的值 t=0 和解决．

$50=Ae^{0k}=A$

现在我们已经解出了我们可以解出在 t=7

$200=50e^{7k}$

$e^{7k}=4$

$7k=\ln(4)$

$k=\frac{\ln(4)}{7}$

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示例问题7:比例常数

一群老鼠有200只老鼠。6周后，种群中有1600只老鼠。生长的常数是多少?

可能的答案:

$\frac{\ln(6)}{8}$

$\ln(8)$

$\frac{\ln(6)}{6}$

$\frac{\ln(8)}{6}$

正确答案:

$\frac{\ln(8)}{6}$

解释：

人口增长的方程由 $P=Ae^{kt}$ ．是人口,是初值，是时间,是生长常数。我们可以代入已知的值 t=0 和解决．

$200=Ae^{0k}=A$

既然我们有我们可以解出在 t=6 ．

$1600=200e^{6k}$

$e^{6k}=8$

$6k=\ln(8)$

$k=\frac{\ln(8)}{6}$

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示例问题8:比例常数

找出比例的直接常数的 y=3sec(x) 从 x=0 来 $x=\frac{\pi}{3}$ ．

可能的答案:

$k=\frac{\pi}{9}$

$k=\frac{9}{\pi}$

$k=-\frac{\pi}{9}$

是未定义的

正确答案:

$k=\frac{9}{\pi}$

解释：

比例常数是由

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ,在那里 $\Delta y$ 变化是在位置和 $\Delta x$ 变化是在的位置。

自 y=3sec(x) ，我们从 x=0 来 $x=\frac{\pi}{3}$

$\Delta y=3sec(\frac{\pi}{3})-3sec(0)=6-3=3$

$\Delta x=\frac{\pi}{3}-0=\frac{\pi}{3}$

$k=\frac{3}{\frac{\pi}{3}}=\frac{9}{\pi}$

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示例问题9:比例常数

锡安国家公园狼的数量减少的速度与数量成正比。从2009年到2011年，人口减少了7%。比例常数是多少?

可能的答案:

-0.009

-0.044

-0.036

0.130

-0.011

正确答案:

-0.036

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成正比，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰减。总体可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 是初始总体值，和是比例常数。

由于2009年到2011年人口减少了7%，我们可以解出这个比例常数:

$(1-0.07)y_0=y_0e^{k(2011-2009)}$

$0.93=e^{2k}$

2k=ln(0.93)

$k=\frac{ln(0.93)}{2}=-0.036$

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示例问题10:比例常数

火星跨星系选区的增长率与人口成正比。公元2530年至2534年间，人口增长了23%。比例常数是多少?

可能的答案:

1.04

0.07

0.12

-0.37

0.05

正确答案:

0.05

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成正比，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰减。总体可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 是初始总体值，和是比例常数。

由于人口在公元2530年到2534年间增长了23%，我们可以解出这个比例常数:

$(1+0.23)y_0=y_0e^{k(2534-2530)}$

$1.23=e^{4k}$

4k=ln(1.23)

$k=\frac{ln(1.23)}{4}=0.05$

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