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微积分1:如何求速率的比例常数

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例子问题

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问题3761:微积分

由于跨星系有机网络冲突，机器人种群减少的速率与种群成正比。从2063年到2081年，人口从60亿减少到4.5亿。确定2100年的预期人口。

可能的答案:

37995623

112804

45231

29228600

8057651

正确答案:

29228600

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在2063年到2081年之间从60亿减少到4.5亿，我们可以求解这个比例常数:

$450000000=6000000000e^{k(2081-2063)}$

$\frac{3}{40}=e^{18k}$

$18k=ln(\frac{3}{40})$

$k=\frac{ln(\frac{3}{40})}{18}=-0.1439$

现在已知了比例常数，我们可以用它来找出由于时间点的差异而导致的相对于初始总体值的期望总体值:

$P=450000000e^{(2100-2081)(-0.1439)} \approx 29228600$

问题42:如何求速率的比例常数

在一片室温下的肉上，大肠杆菌培养物的生长速度与数量成正比。人口在1:15到1:45之间从400人增加到1600人。在3:15确定预期的总体。

可能的答案:

11366

87112

102463

8954

28796

正确答案:

102463

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在1:15到1:45之间从400增加到1600，我们可以解出这个比例常数。将小时后的分钟视为小数，除以60:

$1600=400e^{k(1.75-1.25)}$

$4=e^{0.5k}$

0.5k=ln(4)

$k=\frac{ln(4)}{0.5}=2.773$

现在已知了比例常数，我们可以用它来找出由于时间点的差异而导致的相对于初始总体值的期望总体值:

$P=1600e^{(3.25-1.75)(2.773)} \approx 102463$

这就是为什么我们要用冰箱。

问题43:如何求速率的比例常数

对特定抗生素的反应，大肠杆菌种群的减少率与种群数量成正比。在1:00到1:30之间，人口从16万减少到8000。在1:45确定预期的总体。

可能的答案:

812

932

4896

1789

正确答案:

1789

解释：

我们被告知，人口减少的速度与人口本身成正比，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在1:00到1:30之间从160,000下降到8000，我们可以求解这个比例常数。将小时后的分钟视为小数，除以60:

$8000=160000e^{k(1.5-1)}$

$\frac{1}{20}=e^{0.5k}$

$0.5k=ln(\frac{1}{20})$

$k=\frac{ln(\frac{1}{20})}{0.5}=-5.991$

现在已知了比例常数，我们可以用它来找出由于时间点的差异而导致的相对于初始总体值的期望总体值:

$P=8000e^{(1.75-1.5)(-5.991)} \approx 1789$

问题41:比例常数

在脏盘子上培养的细菌的生长速度与细菌的数量成正比。在1:15到1:30之间，人口从50增加到200。在什么时间点，人口大约是700人?

可能的答案:

2:11

2:32

2:59

1:44

1:37

正确答案:

1:44

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在1:15到1:30之间从50增加到200，我们可以解出这个比例常数。将小时后的分钟视为小数，除以60:

$200=50e^{k(1.5-1.25)}$

$4=e^{0.25k}$

0.25k=ln(4)

$k=\frac{ln(4)}{0.25}=5.545$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$700=200e^{5.545(t-1.5)}$

$5.545(t-1.5)=ln(\frac{7}{2})$

$t=1.5+\frac{ln(\frac{7}{2})}{5.545} = 1.726 \rightarrow 1:44$

问题941:率

在约塞米蒂，狼的数量增长速度与种群数量成正比。2012年至2015年间，人口从2500人增加到4200人。人口大约在哪一年达到至少14000人?

可能的答案:

2020

2022

2018

2024

2026

正确答案:

2022

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于2012年至2015年间人口从2500人增加到4200人，我们可以求解这个比例常数:

$4200=2500e^{k(2015-2012)}$

$\frac{42}{25}=e^{3k}$

$3k=ln(\frac{42}{25})$

$k=\frac{ln(\frac{42}{25})}{3}=0.173$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$14000=4200e^{0.173(t-2015)}$

$0.173(t-2015)=ln(\frac{10}{3})$

$t=2015+\frac{ln(\frac{10}{3})}{0.173}=2021.9 \rightarrow 2022$

问题41:比例常数

酵母在酸面团中的生长速度与酵母的数量成正比。人口在60分钟内从3100增加到11000。大约还要多少分钟人口就会达到25000人?

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在60分钟内从3100增加到11000，我们可以求解这个比例常数:

$11000=3100e^{60k}$

$\frac{110}{31}=e^{60k}$

$60k=ln(\frac{110}{31})$

$k=\frac{ln(\frac{110}{31})}{60}=0.0211$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$25000=11000e^{0.0211(t)}$

$0.0211(t)=ln(\frac{25}{11})$

$t=\frac{ln(\frac{25}{11})}{0.0211}=38.9 \rightarrow 39$

问题3761:微积分

博德加湾鲑鱼种群的增长率与种群数量成正比。从1月到3月，人口从6750人增加到9000人。人口大约在哪个月达到16000人?

可能的答案:

September

August

June

July

October

正确答案:

July

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在一月到三月间从2700增加到9000，我们可以解出这个比例常数。使用日历上的月份数:

$9000=6750e^{k(3-1)}$

$\frac{4}{3}=e^{2k}$

$2k=ln(\frac{4}{3})$

$k=\frac{ln(\frac{4}{3})}{2}=0.1438$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$16000=9000e^{0.1438(t-3)}$

$0.1438(t-3)=ln(\frac{16}{9})$

$t=3+\frac{ln(\frac{16}{9})}{0.1438}=7.001 \rightarrow July$

问题#944:率

巴斯克维尔猎犬数量的增长速度与种群数量成正比。从2013年到2015年，它的数量从13人增加到32人。大约在哪一年人口会最终超过300人?

可能的答案:

2020

2025

2032

2028

2018

正确答案:

2020

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于2013年至2015年人口从13人增加到32人，我们可以求解这个比例常数:

$32=13e^{k(2015-2013)}$

$\frac{32}{13}=e^{2k}$

$2k=ln(\frac{32}{13})$

$k=\frac{ln(\frac{32}{13})}{2}=0.4504$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$300=32e^{0.4504(t-2015)}$

$0.4504(t-2015)=ln(\frac{75}{8})$

$t=2015+\frac{ln(\frac{75}{8})}{0.4504}=2019.97 \rightarrow 2020$

问题#945:率

朱诺地区科迪亚克熊种群的增长率与种群数量成正比。2014年至2015年间，人口从1100人增加到1300人。人口大约在哪一年达到3000人?

可能的答案:

2024

2019

2017

2020

2027

正确答案:

2020

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于2014年到2015年间人口从1100增加到1300，我们可以求解这个比例常数:

$1300=1100e^{k(2015-2014)}$

$\frac{13}{11}=e^{k}$

$k=ln(\frac{13}{11})=0.1671$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$3000=1300e^{0.1671(t-2015)}$

$0.1671(t-2015)=ln(\frac{3000}{1300})$

$t=2015+\frac{ln(\frac{30}{13})}{0.1671} \approx 2020$

问题946:率

在一些陈年葡萄汁中，酵母种群的增长速度与种群成正比。50分钟后，种群数量从430增加到1180。还要多少分钟人口才会超过5000?

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 为初始总体值，表示相对于此填充值的流逝时间的度量是比例常数。

由于人口在50分钟后从430增加到1180，我们可以求解这个比例常数:

$1180=430e^{50k}$

$\frac{1180}{430}=e^{50k}$

$50k=ln(\frac{1180}{430})$

$k=\frac{ln(\frac{1180}{430})}{50}=0.0202$

现在已知比例常数，我们可以用它来估计我们的时间点:

$5000=1180e^{0.0202(t)}$

$0.0202t=ln(\frac{250}{59})$

$t=\frac{ln(\frac{250}{59})}{0.0202}=71.48 \rightarrow 72$

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宾夕法尼亚州立大学主校区，理学学士，化学工程。美国卡耐基梅隆大学哲学博士。

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约书亚
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美国海军学院，学士，数学。佐治亚大学，数学硕士。

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