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例子问题

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示例问题31:积分表达式

评估 $\int_{0}^{3} 3x^2+6dx$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

使用幂次规则( $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )，取不定积分:

$\int_{0}^{3}3x^2+6dx=3(\frac{1}{2+1}x^{2+1})+6x|_{0}^{3}$

$\int_{0}^{3}3x^2+6dx=3(\frac{1}{3}x^3)+6x|_{0}^{3}$

$\int_{0}^{3}3x^2+6dx=x^3+6x|_{0}^{3}$

接下来，在给定点处求积分值:

$x^3+6x|_{0}^{3}=[(3)^3+6(3)]-[(0)^3+6(0)]$

$x^3+6x|_{0}^{3}=[27+18]-[0]$

$x^3+6x|_{0}^{3}=45-0$

$x^3+6x|_{0}^{3}=45$

报告错误

问题32:积分表达式

评估 $\int_{-3}^{3}2x^2-1dx$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

使用幂次规则( $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )，求不定积分:

$\int_{-3}^{3}2x^2-1dx=[2(\frac{1}{2+1}x^{2+1})-1(x)]_{-3}^{3}$

$\int_{-3}^{3}2x^2-1dx=[2(\frac{1}{3}x^3)-x]_{-3}^3$

$\int_{-3}^{3}2x^2-1dx=[\frac{2}{3}x^3-x]_{-3}^3$

接下来，在给定点处求积分值:

$[\frac{2}{3}x^3-x]_{-3}^3= [\frac{2}{3}(3)^3-(3)]-[\frac{2}{3}(-3)^3-(-3)]$

$[\frac{2}{3}x^3-x]_{-3}^3=15-(-15)$

$[\frac{2}{3}x^3-x]_{-3}^3=30$

报告错误

示例问题33:积分表达式

评估 $\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

使用幂次规则( $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )，求不定积分，然后代入给定区间:

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=[4[\frac{1}{1+3}x^{1+3}]+2[\frac{1}{1+1}x^{1+1}]]_{-1}^{3}$

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=[4(\frac{1}{4}x^4)+2(\frac{1}{2}x^2)]_{-1}^{3}$

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=[x^4+x^2]_{-1}^{3}$

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=[(3)^4+(3)^2]-[(-1)^4+(-1)^2]$

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=[81+9]-[1+1]$

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=90-2$

$\int_{-1}^{3}4x^3+2xdx=88$

报告错误

问题34:积分表达式

集成 $\int 6x^4+3x^2+13dx$ ．

可能的答案:

6x^5+3x^3+13x

$\frac{6}{5}x^5+x^3+13x+C$

6x^6+x^3+13x

x^5+x^3+13

正确答案:

$\frac{6}{5}x^5+x^3+13x+C$

解释：

使用幂次规则( $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )，取不定积分:

$\int 6x^4+3x^2+13=6(\frac{1}{4+1})(x^{4+1})+3(\frac{1}{2+1})(x^{2+1})+13(x)+C$

$\int 6x^4+3x^2+13=6(\frac{1}{5})(x^5)+3\frac{1}{3}x^3+13x+C$

$\int 6x^4+3x^2+13=\frac{6}{5}x^5+x^3=13x+C$

报告错误

问题35:积分表达式

评估 $\int 4x^6-x^3+2 dx$ ．

可能的答案:

$\frac{x^7}{7}-\frac{x^4}{4}+2x$

$\frac{4}{7}x^7-\frac{x^4}{4}+2x^2+C$

$\frac{4}{7}x^7-\frac{x^4}{4}+2x+C$

$\frac{4}{7}x^7-{x^4}+8x+C$

正确答案:

$\frac{4}{7}x^7-\frac{x^4}{4}+2x+C$

解释：

使用幂次规则( $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )，取不定积分:

$\int 4x^6-x^3+2 dx=4[\frac{1}{6+1}x^{6+1}]-[\frac{1}{3+1}x^{3+1}]+2x+C$

$\int 4x^6-x^3+2 dx=\frac{4}{7}x^7-\frac{1}{4}x^4+2x+C$

$\int 4x^6-x^3+2 dx=\frac{4}{7}x^7-\frac{x^4}{4}+2x+C$

报告错误

问题36:积分表达式

评估 $\int 3x^5+4x^2dx$ ．

可能的答案:

x^6+x^3

$2x^6+\frac{3}{4}x^3+C$

$\frac{x^6}{2}+\frac{4}{3}x^3+C$

x^6+4x^3+C

正确答案:

$\frac{x^6}{2}+\frac{4}{3}x^3+C$

解释：

求不定积分(利用幂次法则积分: $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )的表达式:

$\int 3x^5+4x^2=3(\frac{1}{1+5}x^{1+5})+4(\frac{1}{1+2}x^{1+2})+C$

$\int 3x^5+4x^2=3(\frac{1}{6}x^6)+4(\frac{1}{3}x^3)+C$

$\int 3x^5+4x^2=\frac{x^6}{2}+\frac{4}{3}x^3+C$

报告错误

问题37:积分表达式

评估 $\int15x^4+2x+4dx$ ．

可能的答案:

15x^5+2x^2+4x+C

3x^5+x^2+4x+C

$\frac{x^5}{3}+x^2+4x$

9x^5+x^2+4x+C

正确答案:

3x^5+x^2+4x+C

解释：

求不定积分(利用幂次法则积分: $\int u^ndu={\frac{1}{n+1}}u^{n+1}$ )的表达式:

$\int 15x^4+2x+4dx=15(\frac{1}{1+4}x^{1+4})+2(\frac{1}{1+1}x^{1+1})+4(x)+C$

$\int 15x^4+2x+4dx=15(\frac{1}{5}x^5)+2(\frac{1}{2}x^2)+4x+C$

$\int 15x^4+2x+4dx=3x^5+x^2+4x+C$

报告错误

示例问题31:方程

如果 f'(x) 定义为 $f'(x)=9x^{2}+7x-12$ ，什么是 f(x) ?

可能的答案:

$f(x)=3x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-12x+C$

以上都不是

f(x)=18x+7

f(x)=18x+7+C

$f(x)=3x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-12x$

正确答案:

$f(x)=3x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-12x+C$

解释：

已知导数 $f'(x)=9x^{2}+7x-12$ ，就能求出函数 f(x) 通过无限积分 f'(x) 根据积分幂次法则: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ,在那里 $n\neq-1$ 而且是积分的任意常数。

利用这个规则，我们就知道了 $\int f'(x)dx=\int (9x^{2}+7x-12)dx=3x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-12x+C$ ．

报告错误

问题39:积分表达式

如果 f'(x) 定义为 $f'(x)=3x^{2}-6x+7$ ，什么是 f(x) ?

可能的答案:

以上都不是

f(x)=6x-6

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+7x$

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+7x+C$

f(x)=6x-6+C

正确答案:

$f(x)=x^{3}-3x^{2}+7x+C$

解释：

已知导数 $f'(x)=3x^{2}-6x+7$ ，就能求出函数 f(x) 通过无限积分 f'(x) 根据积分幂次法则: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ,在那里 $n\neq-1$ 而且是积分的任意常数。

利用这个规则，我们就知道了 $\int f'(x)dx=\int (3x^{2}-6x+7)=x^{3}-3x^{2}+7x+C$ ．

报告错误

问题40:积分表达式

如果 f'(x) 定义为 $f'(x)=5x^{2}-8x+11$ ，什么是 f(x) ?

可能的答案:

f(x)=10x-8

f(x)=10x-8+C

以上都不是

$f(x)=\frac{5}{3}x^{3}-4x^{2}+11x+C$

$f(x)=\frac{5}{3}x^{3}-4x^{2}+11x$

正确答案:

$f(x)=\frac{5}{3}x^{3}-4x^{2}+11x+C$

解释：

已知导数 $f'(x)=5x^{2}-8x+11$ ，就能求出函数 f(x) 通过无限积分 f'(x) 根据积分幂次法则: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ,在那里 $n\neq-1$ 而且是积分的任意常数。

利用这个规则，我们就知道了 $\int f'(x)dx=\int (5x^{2}-8x+11)dx=\frac{5}{3}x^{3}-4x^{2}+11x+C$ ．

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认证导师

德雷克塞尔大学，生物医学工程学士学位。德雷克塞尔大学，医学博士，医学预科。

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认证导师

古吉拉特大学，理学学士，统计学。

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伦纳德
认证导师

佛罗里达州立大学，环境科学学士。

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常用备考

在迈阿密准备ACT考试，在丹佛准备GRE考试，波士顿的SAT备考，MCAT考试准备在洛杉矶，在波士顿准备SSAT考试，在菲尼克斯准备GMAT考试，在纽约准备GMAT考试，在休斯顿准备LSAT考试，亚特兰大的ACT考试准备，在西雅图准备LSAT考试

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