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微积分1:方程

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问题147:微分方程

求以下微分方程的解:

y'-y=0

假设是一个函数

可能的答案:

t*Ce^t

$Ce^{-t}$

e^t+C

Ce^t

正确答案:

Ce^t

解释：

利用积分因子:

$e^{(-t)}*(y'-y)=0$

一旦我们使用了这个积分因子，我们可以将方程简化为:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[e^{-t}y]=0$

两边积分:

$e^{-t}y=C$

$y=Ce^{t}$

问题148:微分方程

确定下列哪个不是微分方程的解:

y''-y=0

可能的答案:

y=cos(t)

$y=e^{-t}$

y=e^t

y=0

正确答案:

y=cos(t)

解释：

因为你可能知道，也可能不知道怎么解决 2nd 阶微分方程，你总是可以代入答案，看看是否正确。

让我们从 y=cos(t) ：

y'=-sin(t)

y''=-cos(t)

$y''-y=-cos(t)-cos(t)=-2cos(t)\neq 0$

如果你尝试所有其他的函数，它们会解出微分方程。

问题149:微分方程

在带电阻的电路中，电压降方程为:

$\frac{d}{dx}V =\frac{d}{dt}Q*R$ ,在那里是电压,是电荷，并且是阻力。

考虑到 Q=t^2-t+2 , R=5 ，确定电压差从 x:(0,1) 在 t=5

可能的答案:

正确答案:

解释：

这涉及到解一个微分方程．

首先，我们确定值 $\frac{d}{dt}Q$ ：

Q=t^2-t+2

$\frac{d}{dt}Q=2t-1$

在 t=5

$\frac{d}{dt}Q(5)=2*5-1=9$

这意味着我们现在的方程是:

$\frac{d}{dx}V =\frac{d}{dt}Q*R$

$\frac{d}{dx}V =9*5=45$

确定…的差值从 x:(0,1) 时，取定积分:

$V=\int_{0}^{1}45 dx= 45-0=45$

问题150:微分方程

求函数的导数 $g(x)= 5\sin(x)$

可能的答案:

g'(x)= 5sin(x)

$g'(x)= -5\sin(x)$

$g'(x)= -5\cos(x)$

$g'(x)= 5\cos(x)$

正确答案:

$g'(x)= 5\cos(x)$

解释：

三角函数的导数 $\sin(x)$ 是 $\cos(x)$ ．

因此，正确的答案是

$g'(x)= 5\cos(x)$ ．

问题151:微分方程

求函数的导数 y=3x^2+2 ．

可能的答案:

y'(x)= 3x+2

y'(x)= 6x

y'(x)= 6x+2

y'(x)= 3x^2

正确答案:

y'(x)= 6x

解释：

要求函数的导数，必须使用幂法则

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x^n=nx^{n-1}$ ．

用这个规则，正确答案

$y'=2\cdot 3x^{2-1}$

y'(x)= 6x 是获得。

问题152:微分方程

求函数的导数 y=2x^2+5x^4+sin(x) ．

可能的答案:

y'(x)=4x+20x^3+cos(x)

y'(x)=2x+20x^4-cos(x)

y'(x)=4x+20x^3-sin(x)

y'(x)=4x+20x^3-cos(x)

正确答案:

y'(x)=4x+20x^3+cos(x)

解释：

对前两项求导，用幂法则

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^n)=nx^{n-1}$ ．

对sinx求导，有恒等式，

sin'(x)=cos(x) ．

运用所有的规则，

$y'=2\cdot2x^{2-1}+4\cdot5x^{4-1}+cos(x)$

y'(x)=4x+20x^3+cos(x) ．

问题153:微分方程

确定以下问题的解决方案: y'=15x^2y+12xy+y 与 y(0)=e^4 ．

可能的答案:

这个方程是不可分离的。

$y=\exp(5x^3+6x^2+x)+4$

$y=\exp(5x^3+6x^2+x)$

$y=\exp(5x^3+6x^2+x+4)$

$y=\exp(5x^3+6x^2+x+c)$

正确答案:

$y=\exp(5x^3+6x^2+x+4)$

解释：

如果微分方程是可分离变量，解它往往很简单。可分离变量方程可以写成如下形式

$\frac{dy}{dx}= f(x)g(y)$ ．

从这里我们可以修改方程

$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$

然后可以对两边积分。

我们可以把方程写成

$\frac{dy}{dx}=(15x^2+12x+1)y$

因此我们知道它是可分离的。

接下来我们对它进行处理，把y项放在左边x项放在右边，就像下面这样

$\frac{dy}{y}=(15x^2+12x+1)dx$ ．

下一步是两边积分

$\int\frac{dy}{y}=\int(15x^2+12x+1)dx$ ．

这给了我们

$\ln y +c_1= 5x^3+6x^2+x+c_2$ ，

因为c是任意常数我们可以把它们结合起来得到

$\ln y= 5x^3+6x^2+x+c$ ．

因为我们想把它写成关于y的方程所以两边都代入e。

因此我们得到

$y=\exp(5x^3+6x^2+x+c)$ ．

因为这个问题给出了c的初始条件。

因此

$\exp(4)=\exp(5\cdot 0^3+6\cdot 0^2 +0+c)$

所以c = 4。

因此，解决方案是

$y=\exp(5x^3+6x^2+x+4)$ ．

问题154:微分方程

求解以下可微方程:

$\frac{dy}{dx}= \frac{x+y}{x}$

条件是 y(1)=0 ．

可能的答案:

y=x^2-x-1

y=x^2-x

y=x+1

y=x^2

y=x-1

正确答案:

y=x^2-x

解释：

当给定一个一阶微分方程要解时，首先要检验的是它是齐次的。齐次方程是这样的方程

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ ，

f(x,y)=f(tx,ty) 给定任意t。

如果方程是齐次的你可以做替换 y=xz 这个新方程是可分离变量的。

第一步是检验下面的方程是否齐次，

$\frac{dy}{dx}= \frac{x+y}{x}$ ．

接下来我们证明这个方程是齐次的

$f(x,y)=\frac{x+y}{xy}=\frac{t(x+y)}{tx}=\frac{tx+ty}{tx}=f(tx,ty)$ ．

现在我们用xz代替y。这就得到了下面的新方程:

$x\frac{dz}{dx}=\frac{x+xz}{x}= 1+z$ ．

这是一个可分离变量方程我们可以对方程两边积分

$\int\frac{1}{x}dx=\int \frac{1}{z+1}dz$

这就导致

$\ln x = \ln(z+1)+c$ ．

这样我们就得到了方程

x=z+1+c ，

然后代入y，得到

$x=\frac{y}{x}+1+c$ ．

所以我们的方程组是

y=x^2-x-cx

但代入给定条件，我们得到c=0。

因此，最终的解决方案

y=x^2-x ．

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