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代数2:对数的加减法

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例子问题

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例子问题1:加减对数

简化以下对数表达式:

$log_{3}81 - log_{5} (\frac{1}{25}) + log_{7} 7^{\frac{3}{2}}$

可能的答案:

$\frac{7}{2}$

$\frac{21}{2}$

$\frac{15}{2}$

正确答案:

$\frac{15}{2}$

解释：

每个术语可以简化如下:

$log_{3}81 = log_{3} 3^{4} = 4$

$- log_{5} (\frac{1}{25}) = - log_{5} (5)^{-2} = -(-2) = 2$

$log_{7} 7^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

综合这些，答案是: $\frac{15}{2}$

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例子问题1:对数的乘法和除法

用对数恒等式化简表达式。

log_47-log_45

可能的答案:

这个表达式不能简化

log_4(35)

log_4(2)

$log_4(\frac{5}{7})$

$log_4(\frac{7}{5})$

正确答案:

$log_4(\frac{7}{5})$

解释：

分数的对数等于分子的对数减去分母的对数。

$log_A(\frac{B}{C})=log_AB-log_AC$

如果我们遇到两个底数相同的对数，我们可以将它们组合起来。在这种情况下，我们可以使用上述恒等式的反面。

$log_AB-log_AC=log_A(\frac{B}{C})$

$A=4,\ B=7,\ C=5$

$log_47-log_45=log_4(\frac{7}{5})$

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例子问题1:加减对数

用对数性质来简化这个表达式:

$log(4x)+log\left(\frac{1}{2}\right)-log(y^{2})$

可能的答案:

$log(2xy^{2})$

$log\left(\frac{4x}{y^{2}}\right)$

$log\left(\frac{2x}{y^{2}}\right)$

$log\left(\frac{2x^{2}}{y^{2}}\right)$

$log\left(\frac{8x}{y^{2}}\right)$

正确答案:

$log\left(\frac{2x}{y^{2}}\right)$

解释：

使用和/积规则将前两项组合起来:

$log\left(4x\ast \frac{1}{2}\right)-log(y^{2})=log(2x)-log(y^{2})$

使用差/商规则来组合剩下的项:

$log\left(\frac{2x}{y^{2}}\right)$

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例子问题1:加减对数

将下列对数表达式展开为对数的和或减的列表:

${}\log(\frac{a^3b^2}{c^4})$

可能的答案:

${}3\log a - 2\log b - 4\log c$

${}6\log a + 6\log b - 4\log c$

${} 3\log a + 2\log b - 4\log c$

${}3\log a -\log b -\log c$

正确答案:

${} 3\log a + 2\log b - 4\log c$

解释：

对数的一个重要性质是对数里面的乘法和外面的加法是一样的。同样，在对数中除法和减法是“相同的”。所以我们的表达式等于

${} \log a^3 + \log b^2 - \log c^4$

指数也可以用同样的方法移到外面。 a^3 基本上是 $a \cdot a \cdot a$ ,所以 log(a^3)=3log(a) ．这可以进一步简化为我们的最终答案:

$3 \log a+2 \log b-4 \log c$

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示例问题4:加减对数

的价值是什么 (log_7343 + log_749)-log_72401 ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

记住对数法则:

log_ab + log_ac = log_abc

$log_pq - log_pr = log_p\frac{q}{r}$

这意味着我们可以简化如下:

(log_7343 + log_749)-log_72401

$log_7(343\cdot 49) - log_72401$

log_716807 - log_72401

$log_7\frac{16807}{2401}$

log_77

任何底数相同的对数总是，所以正确答案是．

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例子问题1:加减对数

下面哪一个是另一种表达方式

$\small \log (8)-\log(4)$ ?

可能的答案:

$\small \log (6)$

$\small \log(12)$

$\small \log(\frac{1}{2})$

$\small \log (2)$

$\small \log(4)$

正确答案:

$\small \log (2)$

解释：

使用规则

$\small \log(a)-\log (b)=\log(\frac{a}{b})$

因此

$\small \log (8)-\log(4)=\log(\frac{8}{4})=\log (2)$

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例子问题1:加减对数

这是另一种表达方式吗

$\small \log(4)+\log(5)$ ?

可能的答案:

$\small \log _{4}(5)$

$\small \log(9)$

$\small \small \frac{\log (4)}{\log (5)}$

$\small \log(\frac{4}{5})$

$\small \log(20)$

正确答案:

$\small \log(20)$

解释：

使用规则:

$\small \log(a)+\log(b)=\log(a\times b)$

因此

$\small \log (4)+\log (5)=\log (4\times 5)=\log (20)$

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示例问题7:加减对数

简化

log_5x-log_52y

可能的答案:

2ylog_5x

log_5x2y

$log_5\frac{x}{2y}$

$log_5\frac{2y}{x}$

正确答案:

$log_5\frac{x}{2y}$

解释：

这个问题可以通过使用日志的属性来解决。当两个对数相减时，就相当于把两个对数除在一起。记住，要使用此规则，在本例中日志必须具有相同的基数 log_5 ．

$log_5x-log_52y=log_5\frac{x}{2y}$

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示例问题8:加减对数

压缩这个对数: $\frac{1}{2}\log_{10}x+3\log_{10}(x+1)$

可能的答案:

$\log_{10}\left[\sqrt{x}+\log_{10}(x+1)^3\right]$

$\frac{1}{2}\log_{10}\left[x+\log_{10}(x+1)^3\right]$

$\log_{10}\left[\sqrt{x}+3\log_{10}(x+1)\right]$

$\log_{10}\left[\sqrt{x}(x+1)^3\right]$

$\log_{10}\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

正确答案:

$\log_{10}\left[\sqrt{x}(x+1)^3\right]$

解释：

为了解决这个问题，你必须理解对数的乘积性质 $\log_{10}uv=\log_{10}u+\log_{10}v$ 还有对数的幂性质 $\log_{10}u^n=n\log_{10}u$ ．注意，这适用于所有以10为底的日志。

$\frac{1}{2}\log_{10}x+3\log_{10}(x+1)$

首先，使用幂法则将对数函数前面的常数移到适当的位置。

$\log_{10}x^{\frac{1}{2}}+\log_{10}(x+1)^3$

接下来提出对数方程

$\log_{10}[x^\frac{1}{2}+(x+1)^3]$

把分数指数改为根号

$\log_{10}[\sqrt{x}(x+1)^3]$

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例子问题1:加减对数

扩大 $log_{8}(\frac{15}{8})$

可能的答案:

$\frac{log_8(15)}{log_8(8)}$

$log_{8}(15)-log_{8}(8)$

$log_8(15)\ast log_8(8)$

$log_{8}(15)+log_8(8)$

正确答案:

$log_{8}(15)-log_{8}(8)$

解释：

对数展开和除的规则是，你可以减去对数里面的项。在这种情况下，问题不是问一个实际的数字，而是问扩展后的版本是什么。因此，通过分子减分母将对数内的项分开。因此答案是

$log_{8}(15)-log_{8}(8)$

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