例子问题
例子问题1:自然对数
解出.
关于这个问题,我们首先注意到的是是指数。这应该是一个即时提醒:使用日志!
问题是,对数应该选哪个底数?我们应该用自然对数(以e为底的对数)因为方程右边已经有e为底的指数了。如你所见,这样会更好地抵消。
两边取自然对数
用对数乘法法则重写方程右侧:
现在把这些指数写下来重写整个方程。
和,等于1。
现在我们只要除以双方互相孤立.
例子问题1:自然对数
重写为一个对数表达式:
利用对数的性质
而且,
我们简化如下:
例子问题3:自然对数
下面哪个表达式等于这个表达式?
其他答案都不正确。
通过反foil方法,我们将多项式因式分解如下:
因此,我们可以利用这个性质
如下:
问题4:自然对数
解决.四舍五入到最接近的千分位。
原方程为:
减去从双方:
两边除以:
两边取自然对数:
两边除以然后用计算器算出:
例5:自然对数
函数的定义域和值域是什么?
定义域=所有非负数
范围=所有正数
定义域=所有正实数
范围=所有实数
域=所有实数
范围=所有实数
定义域=所有正数
范围=所有正数
定义域=所有正数
范围=所有非负数
定义域=所有正实数
范围=所有实数
记住,仍然是正数的对数,.
这是不可能的取任意次幂,得到负数。因为即使,例如,只是,它是两个正数的比值,因此是正的。
更重要的是,它也不可能通过向上求得到0对任何幂。你可以这样想:“对e取几次幂得到0?”
定义域是严格正的。它排除负数和0。
那么范围呢?对什么可能的值求幂?
我们刚刚看到了对负数有一个定义。(这一事实适用于所有数字,而不仅仅是).
显然我们可以把它取正幂。所以值域都是实数。它包括负数、0和正数。
例子问题1:自然对数
解出:
.
如果有必要,四舍五入到最近的十分位。
没有解决方案
给两边相同的底子,用e:
.
因为e而且ln相互抵消,.
求出x,四舍五入到最接近的十分之一:
示例问题7:自然对数
求x:
要解出x,请记住,自然对数和指数是相互抵消的(任何底数与指数相同的对数的性质)。消去后,就只剩下指数了
例8:自然对数
确定值:
自然对数的底是.这意味着这个项将化简为的幂.一些例子是:
这意味着
这个量乘以3。
答案是:
问题9:自然对数
确定值:
为了简化这个表达式,使用下面的自然对数法则。
自然对数的默认底数为.这意味着:
答案是:
例子问题10:自然对数
简化:
根据对数性质,系数自然对数的前面可以写成对数内的量的指数。
注意到自然对数的底是.这意味着对数以底为单位递增将会消除自然对数。
这些术语变成:
化简幂。
答案是: