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高等几何:如何求四面体的体积

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例子问题

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例子问题1:如何求出四面体的体积

下面这个四面体的体积是多少?假设图形是正四面体。

可能的答案:

$\frac{3\sqrt{2}}{2}m^3$

$\frac{2\sqrt{2}}{3}m^3$

$\4\sqrt{3}m^3$

$\frac{8\sqrt{2}}{3}m^3$

$\frac{\sqrt{2}}{3}m^3$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{2}}{3}m^3$

解释：

正四面体是由四个等边三角形组成的。正四面体的体积公式为:

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ ,在那里表示边长。

代入我们的价值观，我们得到:

$V=\frac{(2\: m)^3\sqrt{2}}{12}$

$V=\frac{8\: m^3\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}m^3$

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例子问题1:如何求出四面体的体积

求边长为的四面体的体积 $1\:cm$ ．

可能的答案:

$3\:cm^3$

$6\sqrt{2}\:cm^3$

$\frac{1}{6}\:cm^3$

$\frac{\sqrt3}{4}\:cm^3$

$\frac{\sqrt2}{12}\:cm^3$

正确答案:

$\frac{\sqrt2}{12}\:cm^3$

解释：

写出四面体体积的公式。

$V=\frac{s^3}{6\sqrt 2}$

代入问题中提供的边的长度。

$V=\frac{(1\:cm)^3}{6\sqrt2}=\frac{1}{6\sqrt2}\:cm^3$

分母合理化。

$V= \frac{1}{6\sqrt2}\:cm\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{12}\:cm^3$

报告错误

例子问题1:如何求出四面体的体积

求边长为的四面体的体积 $\sqrt2\:in$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{6}\:in^3$

$\frac{1}{2}\:in^3$

$\sqrt3\:in^3$

$\frac{2}{3}\:in^3$

$\frac{1}{3}\:in^3$

正确答案:

$\frac{1}{3}\:in^3$

解释：

写出四面体体积的公式。

$V=\frac{s^3}{6\sqrt 2}$

代入问题中提供的边的长度:

$V=\frac{(\sqrt2\:in)^3}{6\sqrt2}$

约掉 $\sqrt2$ 分母为1，分子为1

$V= \frac{(\sqrt2)^3}{6\sqrt2}\:in^3$

分子上的平方根是2的次方;这两个操作互相抵消。在取消这些操作后，减少剩余的分数以得到正确答案:

$V= \frac{(\sqrt2)^2}{6}\:in^3=\frac{2}{6}\:in^3=\frac{1}{3}\:in^3$

报告错误

例子问题1:如何求出四面体的体积

求边长为的四面体的体积 $6\:cm$ ．

可能的答案:

$36\sqrt2\:cm^3$

$18\sqrt2\:cm^3$

正确答案:

$18\sqrt2\:cm^3$

解释：

写出求四面体体积的公式。

$V=\frac{s^3}{6\sqrt 2}$

代入问题中提供的边长。

$V=\frac{(6\:cm)^3}{6\sqrt 2}=\frac{6^3}{6\sqrt 2}\:cm^3$

约掉分母的一部分 6^3 在分子上:

$V= \frac{6^2}{\sqrt2}\:cm^3$

展开，使分母合理化，然后减法得到正确答案:

$V= \frac{36}{\sqrt2}\:cm^3=\frac{36}{\sqrt2}\:cm^3 \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2} =\frac{36\sqrt2}{2}\:cm^3 = 18\sqrt2\:cm^3$

报告错误

例子问题1:如何求出四面体的体积

求边长为的四面体的体积 $6\sqrt2$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

写出四面体体积的公式。

$V=\frac{s^3}{6\sqrt 2}$

将式中提供的边长代入公式。

$V= \frac{(6\sqrt 2)^3}{6\sqrt 2}$

用分子的一部分约掉分母，解分子的剩余部分，就能得到正确答案。

$V= (6\sqrt 2)^2 = 72$

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例子问题1:如何求出四面体的体积

求边长为的四面体的体积 $\sqrt5$ ．

可能的答案:

$\frac{125}{6}$

$\frac{5\sqrt3}{9}$

$\frac{125\sqrt2}{12}$

$5\sqrt3$

$\frac{25\sqrt10}{12}$

正确答案:

$\frac{25\sqrt10}{12}$

解释：

写出四面体体积的公式，代入所提供的边长。

$V=\frac{s^3}{6\sqrt 2}= \frac{(\sqrt 5)^3}{6\sqrt 2} = \frac{25\sqrt 5}{6\sqrt2}$

使分母合理以得到正确答案。

$\frac{25\sqrt5}{6\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{25\sqrt 10}{12}$

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例子问题1:如何求出四面体的体积

求边长为正四面体的体积 $5\:cm$ ．

可能的答案:

$20.83\:cm^3$

$2.95\:cm^3$

$14.73\:cm^3$

$125.00\:cm^3$

$12.03\:cm^3$

正确答案:

$14.73\:cm^3$

解释：

正四面体的体积公式为:

$V = \frac{s^3}{6\sqrt{2}}$

在哪里是边长。使用这个公式和给定的值，我们得到:

$V = \frac{5\:cm^3}{6\sqrt{2}} = 14.73\:cm^3$

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问题81:立体几何

边为的正四面体的体积是多少 6cm ?

可能的答案:

$\small \frac{36}{\sqrt{2}} cm^3$

$\small \sqrt{2} cm^3$

$\small \frac{216}{\sqrt{2}} cm^3$

$\small 6\sqrt{2} cm^3$

正确答案:

$\small \frac{36}{\sqrt{2}} cm^3$

解释：

四面体的体积由公式求出:

$\small V= \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ ，

在哪里 $\small a$ 是边的长度。

当 $\small a=6$ ，

$\small V=\frac{36}{\sqrt{2}}$ ．

报告错误

例子问题1:如何求出四面体的体积

边为的正四面体的体积是多少 $\small \frac{2}{3} cm$ ?

可能的答案:

$\small \frac{2}{9\sqrt{2}}cm^3$

$\small \frac{4}{81\sqrt{2}} cm^2$

$\small \frac{2}{9\sqrt{2}}cm^2$

$\small \frac{4}{81\sqrt{2}} cm^3$

以上都不是。

正确答案:

$\small \frac{4}{81\sqrt{2}} cm^3$

解释：

四面体的体积可以用公式求出，

$\small V= \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ 在哪里 $\small a$ 是边的长度。

当 $\small a= \frac{2}{3}$ 体积变成，

$\small V= \left ( \frac{2}{3} ^3\right )\div 6\sqrt{2}$

$\small V=\frac{8}{27}\div 6\sqrt{2}$

$\small V= \frac{8}{27}\times\frac{1}{6\sqrt{2}}=\frac{4}{81\sqrt{2}}$

答案是体积，所以它必须以立方测量!

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例子问题1:如何求出四面体的体积

边为的正四面体的体积是多少 $\small \small \frac{4}{5}cm$ ?

可能的答案:

$\small 375\sqrt{2}$

$\small \frac{125}{\sqrt{2}}$ $\small cm^3$

$\small \frac{32}{\sqrt{2}}$ $\small cm^3$

$\small \frac{375}{32\sqrt{2}}$

以上都不是。

正确答案:

以上都不是。

解释：

四面体的体积由公式求出 $\small V= \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ 在哪里 $\small a$ 是边的长度。

当 $\small \small a= \frac{4}{5}$

$\small \small V= \left ( \frac{4}{5} ^3\right )\div 6\sqrt{2}$

$\small \small V=\frac{64}{125}\div 6\sqrt{2}$

$\small \small \small V= \frac{64}{125}\times\frac{1}{6\sqrt{2}}=\frac{64}{750\sqrt{2}}=\frac{32}{375\sqrt{2}}$

这个答案没有找到，所以它是“以上都不是”。

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