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高等几何:如何求四面体的体积

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例子问题

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问题11:如何求四面体的体积

当每条边的长度加倍时，正四面体的体积如何受到影响?

可能的答案:

它增加了50%。

它是4倍大。

它翻了一倍。

它是8倍大。

这不能由所提供的信息来决定。

正确答案:

它是8倍大。

解释：

正四面体的体积是用公式求出来的 $\small \small V_{1}= \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ 在哪里 $\small a$ 是边的长度。

当边长加倍时，同一四面体的体积为 $\small \small \small V_{2}= \frac{(2a)^3}{6\sqrt{2}}$ ．

因此,

$\small V_{2}=\frac{8a^3}{6\sqrt{2}}=8\times V_{1}$

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问题11:三维几何

边为的正四面体的体积是多少 $\small 22$ $\small cm$ ？

可能的答案:

以上都不是。

$\small \frac{2662}{3\sqrt{2}}$ $\small cm^2$

$\small \frac{5324}{3\sqrt{2}}$ $\small cm^3$

$\small \frac{2662}{3\sqrt{2}}$ $\small cm^3$

$\small \frac{5324}{3\sqrt{2}}$ $\small cm^2$

正确答案:

$\small \frac{5324}{3\sqrt{2}}$ $\small cm^3$

解释：

四面体的体积是用公式求出来的 $\small V= \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ 在哪里 $\small a$ 是边的长度。

当 $\small \small a= 22$ ，

$\small \small \small V=\frac{22^3}{6\sqrt{2}}$

$\small V=\frac{10648}{6\sqrt{2}}=\frac{5324}{3\sqrt{2}}$

当然，体积应该是立方的!

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问题81:立体几何

求一个正四面体的体积，如果它的边是 $\sqrt[3]{6}\:cm$ 长。

可能的答案:

$\frac{\sqrt2}{2}\;cm$

$2\sqrt3\:cm$

$2\sqrt6\:cm$

$4\sqrt3\:cm$

$\sqrt6\:cm$

正确答案:

$\frac{\sqrt2}{2}\;cm$

解释：

写出一个四面体的体积方程。

$V=\frac{e^3}{6\sqrt2}$

在这个公式中，表示四面体的体积和表示其中一条边的长度。

代入给定的边长度求解。

$V=\frac{(\sqrt[3]6\:cm)^3}{6\sqrt2} = \frac{6\:cm^3}{6\sqrt2}= \frac{1}{\sqrt2}\:cm$

使分母合理化。

$\frac{1}{\sqrt2}\:cm\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}\:cm$

报告错误

问题82:立体几何

求四面体的体积，如果边长是 $\frac{1}{6}$ ．

可能的答案:

$\frac{\sqrt2}{1296}$

$\frac{\sqrt2}{216}$

$\frac{\sqrt2}{2592}$

$\frac{\sqrt2}{16}$

$\frac{3\sqrt2}{2}$

正确答案:

$\frac{\sqrt2}{2592}$

解释：

写出计算四面体体积的方程。

$V=\frac{a^3}{6\sqrt2}$

代入边长，求出体积。

$V=\frac{(\frac{1}{6})^3}{6\sqrt2}= \frac{1}{216}\left(\frac{1}{6\sqrt2}\right)= \frac{1}{1296\sqrt2}$

使分母合理化。

$V=\frac{1}{1296\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}= \frac{\sqrt2}{1296\cdot 2} = \frac{\sqrt2}{2592}$

报告错误

83题:立体几何

边长为6的正四面体的体积是多少?

可能的答案:

27.8

24.2

25.5

32.1

26.6

正确答案:

25.5

解释：

四面体的体积可以用下面的公式求解:

$V= \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

在哪里是对四面体边缘的测量。

用6代入就可以很快地解决这个问题．

$V=\frac{6^3}{6\sqrt{2}}=\frac{216}{6\sqrt{2}}=\frac{36}{\sqrt{2}}$

${\color{Blue} V=25.5}$

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问题81:先进的几何

下面这个四面体的体积是多少?

屏幕截图2015年10月21日晚上7点16分10分

可能的答案:

$\frac{256}{6\sqrt2}$

$\frac{36}{\sqrt2}$

25.63

$\frac{256}{3\sqrt2}$

512

正确答案:

$\frac{256}{3\sqrt2}$

解释：

四面体的体积是 $V=\frac{s^3}{6\sqrt2}$ ．

这个四面体的边长是8。

$V=\frac{8^3}{6\sqrt2}$ ，就变成了 $\frac{512}{6\sqrt2}$ ．

你可以进一步简化这个答案，这样它就变成

$\frac{256}{3\sqrt2}$ ．

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