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三角学:简化三角函数

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例子问题

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例子问题1:三角函数化简

化简如下三角函数:

$\frac{4sin^2(60^{\circ})-tan(45^{\circ})}{3sin(45^{\circ})}$

可能的答案:

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

1/2

3/4

$\sqrt{2}/2$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

解释：

为解决此问题，您需要了解以下信息:

$sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(45^{\circ})=1$

$sin(45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

将三角函数替换为以下值:

$\frac{4sin^2(60^{\circ})-tan(45^{\circ})}{3sin(45^{\circ})}$

$\frac{4(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(1)}{3(\frac{\sqrt{2}}{2})}$

$\frac{4(\frac{3}{4})-(1)}{(\frac{3\sqrt{2}}{2})}$

$\frac{2}{(\frac{3\sqrt{2}}{2})}$

$\frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

将三角函数化简为分数形式:

$cos^{2}(45^{\circ})-sin(30^{\circ})$

可能的答案:

1/3

1/2

正确答案:

解释：

要确定表达式的值，必须知道以下三角函数值:

$cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin (30^{\circ})=\frac{1}{2}$

替换这些值，我们得到:

$cos^{2}(45^{\circ})-sin(30^{\circ})$

$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-\frac{1}{2}$

$\frac{2}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

$tan (x)*sin(x) + sec(x)*(cos x)^{2} =$

可能的答案:

sec (x)

tan (x)

cos (x)* sin (x)

csc (x)

$(cos x)^{2}$

正确答案:

sec (x)

解释：

$tan (x)*sin(x) + sec(x)*(cos x)^{2} =$

$\frac{sin (x)}{cos (x)}* sin(x) + \frac{1}{cos (x)}*(cos x)^{2} =$

$\frac{(sin x)^{2} + (cos x)^{2}}{cos (x)} = \frac{1}{cos (x)} = sec (x)$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

简化下面的表达式:

$A=cos(\frac{3\pi}{2}+x)+sin (\pi+x)+cos(\frac{\pi}{2}+x)+sin(\pi-x)$

可能的答案:

$A=-sin\ x$

A=1

A=-1

$A=sin\ x$

A=0

正确答案:

A=0

解释：

我们需要使用以下标识:

$cos(\frac{3\pi}{2}+x)=sin\ x$

$sin (\pi+x)=-sin\ x$

$cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sin\ x$

$sin(\pi-x)=sin\ x$

用这些来简化表达式如下:

$A=cos(\frac{3\pi}{2}+x)+sin (\pi+x)+cos(\frac{\pi}{2}+x)+sin(\pi-x)$

$\Rightarrow A=sin\ x-sin\ x-sin\ x+sin\ x = 0$

报告错误

示例问题21:三角函数

给出的值：

$A=\frac{2sin(\frac{\pi}{2})+4cos(\frac{\pi}{2})}{4sin(\frac{\pi}{2})-cos(\frac{\pi}{2})}$

可能的答案:

A=2

A=1.5

A=0

A=0.5

A=1

正确答案:

A=0.5

解释：

$sin(\frac{\pi}{2})=1$

$cos(\frac{\pi}{2})=0$

将这些值代入:

$A=\frac{2sin(\frac{\pi}{2})+4cos(\frac{\pi}{2})}{4sin(\frac{\pi}{2})-cos(\frac{\pi}{2})}=\frac{2\times 1+4\times 0}{4\times 1-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

如果 $tan\ x = \frac{1}{4}$ 求解

$D=\frac{sin\ x}{sin\ x-cos\ x}+\frac{sin\ x+cos\ x}{cos\ x}$

可能的答案:

$D=-\frac{11}{12}$

$D=\frac{1}{12}$

$D=\frac{7}{12}$

$D=\frac{11}{12}$

$D=\frac{5}{12}$

正确答案:

$D=\frac{11}{12}$

解释：

$tan\ x=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{sin\ x}{cos\ x}=\frac{1}{4}\Rightarrow cos\ x=4sin\ x$

替代 $cos\ x=4sin \ x$ 转化为表达式:

$D=\frac{sin\ x}{sin\ x-cos\ x}+\frac{sin\ x+cos\ x}{cos\ x}=\frac{sin\ x}{sin\ x-4sin\ x}+\frac{sin\ x+4sin\ x}{4sin\ x}$

$\Rightarrow D=\frac{sin\ x}{-3sin\ x}+\frac{5sin\ x}{4sin\ x}$

$\Rightarrow D=-\frac{1}{3}+\frac{5}{4}=\frac{-4+15}{12}=\frac{11}{12}$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

如果 $cot\ x= 3$ ，给出的值：

$D=\frac{cos^2x}{(sin\ x)(cos\ x)}-\frac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}$

可能的答案:

D=1

D=-2

D=2

D=0

D=-1

正确答案:

D=-1

解释：

$cot\ x=3\Rightarrow \frac{cos\ x}{sin\ x}=3\Rightarrow cos\ x= 3sin\ x$

现在的替代品 $cos\ x=3sin\ x$ 转化为表达式:

$D=\frac{cos^2x}{(sin\ x)(cos\ x)}-\frac{sin\ x+cos\ x}{sin\ x}=\frac{(3sin\ x)^2}{(sin\ x)(3sin\ x)}-\frac{sin\ x+3sin\ x}{sin\ x}$

$\Rightarrow D=\frac{9sin^2x}{3sin^2x}-\frac{4sin\ x}{sin\ x}$

$\Rightarrow D=\frac{9}{3}-4=3-4=-1$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

简化下面的表达式:

$A=\frac{sin^2x}{1+tan^2x}-\frac{cos^2x}{1+cot^2x}+1$

可能的答案:

A=-2

A=1

A=0

A=-1

A=2

正确答案:

A=1

解释：

我们需要使用以下身份:

$\frac{1}{cos ^2x}=1+tan^2x$

$\frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x$

现在把它们代入表达式:

$A=\frac{sin^2x}{1+tan^2x}-\frac{cos^2x}{1+cot^2x}+1=\frac{sin^2x}{\frac{1}{cos^2x}}-\frac{cos^2x}{\frac{1}{sin^2x}}+1$

$\Rightarrow A=(sin^2x)(cos^2x)-(sin^2x)(cos^2x)+1=0+1=1$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

如果 $cos\ x=\frac{1}{3}$ 而且 $sin\ x\neq 0$ ，给出的值 $\frac{sin\ x+sin\ 2x}{sin\ x-sin\ 2x}$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

根据倍角公式， $sin\ 2x=2(sin\ x)(cos\ x)$ ．

$\frac{sin\ x+sin\ 2x}{sin\ x-sin\ 2x}=\frac{sin\ x+2(sin\ x)(cos\ x)}{sin\ x-2(sin\ x)(cos\ x)}$

$=\frac{sinx(1+2cos\ x )}{sinx(1-2cos\ x )}=\frac{1+2cos\ x}{1-2cos\ x}$

$=\frac{1+2(\frac{1}{3})}{1-2(\frac{1}{3})}=\frac{\frac{3+2}{3}}{\frac{3-2}{3}}=5$

报告错误

例子问题1:三角函数化简

如果 $x=\frac{\pi}{3}$ ，给出的值 $\frac{sin\ x}{sin\ x+cos\ 2x}$ ．

可能的答案:

$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

解释：

$x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow sin\ x=sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

现在我们可以这样写:

$x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow 2x=2(\frac{\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}\Rightarrow cos\ 2x=cos(\frac{2\pi}{3})$

$=cos(\pi-\frac{\pi}{3})$

$=-cos (\frac{\pi}{3})$

$=-\frac{1}{2}$

现在我们可以代入这些值:

$\frac{sin\ x}{sin\ x+cos\ 2x}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\times \frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

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