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三角学:求三角根

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例子问题

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例子问题1:求三角根

下列哪个选项是下列方程的解 $0\leq x<2\pi?$

2sin^2(x)-sin(x)+3=4

可能的答案:

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{2\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{11\pi}{6}$

正确答案:

$\frac{11\pi}{6}$

解释：

我们先让方程右边等于0。

2sin^2(x)-sinx-1=0

接下来是因式分解。

(2sin(x)+1)(sin(x)-1)=0

然后我们将每个因子设为零并求解。

2sin(x)+1=0 或 sin(x)-1=0

$sin(x)=-\frac{1}{2}$ sin(x)=1

然后我们确定在一圈内满足每个解的角度。

盎格鲁 $\frac{7\pi}{6}$ 和 $\frac{11\pi}{6}$ 满足第一个，和 $\frac{\pi}{2}$ 满足第二个条件。只有 $\frac{11\pi}{6}$ 是答案选项之一。

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例子问题1:求三角根

求解下面的方程 $0\leq x<2\pi$ ．

$\sin 2x=\cos 2x$

可能的答案:

$x=\frac{\pi}{8}; \frac{5\pi}{8}; \frac{9\pi}{8}; \frac{13\pi}{8}$

$x=\frac{\pi}{8}; \frac{5\pi}{8}$

$x=\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}$

不存在解

$x=\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$

正确答案:

$x=\frac{\pi}{8}; \frac{5\pi}{8}; \frac{9\pi}{8}; \frac{13\pi}{8}$

解释：

解决这个问题最快的方法是替换一个新变量。让 u=2x ．

方程现在变成:

$\sin u=\cos u$

sin和cos函数在哪个角度相等。这发生在

$u=\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}$

你可能会想:“你为什么要写

$\frac{9\pi}{4}; \frac{13\pi}{4}$ 如果他们不在中间和 $2\pi$ ？"

原因是一旦我们把原来的变量代回，我们就必须除以2。除以2后两个答案在我们的范围内。

$2x=\frac{\pi}{4}; 2x=\frac{5\pi}{4}; 2x=\frac{9\pi}{4}; 2x=\frac{13\pi}{4}$

把每个答案除以2得到

$x=\frac{\pi}{8}; \frac{5\pi}{8}; \frac{9\pi}{8}; \frac{13\pi}{8}$

报告错误

例子问题3:求三角根

解的方程 $0\leq x<2\pi$ ．

$\cos 4x = \cos 2x$

可能的答案:

不存在解

$x=0; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \pi; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3};$

$x=0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; 2\pi; \frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3};$

$x=0; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$

$x=0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$

正确答案:

$x=0; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \pi; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3};$

解释：

我们从替换一个新变量开始 u=2x ．

$\cos 2u=\cos u$ ;用对角恒等式 $\cos 2u$ ．

$2\cos ^2 u-1=\cos u$ ;减去 $\cos u$ 双方都有。

$2\cos ^2 u-\cos u-1=0$ ;这个表达式可以因式分解。

$(2\cos u+1)(\cos u-1)=0$ ;将每个表达式设为0。

$2\cos u+1=0$ 或 $\cos u -1=0$ ;求解下列方程 $\cos u$

$\cos u = -\frac{1}{2}$ 或 $\cos u = 1$ ;因为我们替换了一个新变量，我们可以看到如果 $0\leq x<2\pi$ ，那么我们一定有 $0\leq 2x < 4\pi$ ．自 u=2x ，这意味着 $0\leq u<4\pi$ ．

这个信息很重要因为它告诉我们当我们解两个u的方程时，我们的答案可以一直到 $4\pi$ 不只是 $2\pi$ ．

所以我们得到

$2x = u=0; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; 2\pi; \frac{8\pi}{3}; \frac{10\pi}{3};$ 所有都除以2得到最终解

$x=0; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \pi; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3};$

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问题4:求三角根

求解下面的方程 $0\leq x<2\pi$ ．

$\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x -1$

可能的答案:

x=0

$x=0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x=0, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$

$x=0, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$x=0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

正确答案:

x=0

解释：

$\sin\left(\frac{x}{2}\right)=\cos x -1$ ;我们从替换一个新变量开始。让 $u=\frac{x}{2}$ ．

$\sin u=\cos 2u-1$ ;用余弦的倍角恒等式

$\sin u = 1-2\sin ^2 u-1$ ;1约掉，加 $2\sin ^2u$ 对双方来说

$2\sin ^2u+\sin u=0$ ;提出因式 $\sin u$ 从这两项。

$\sin u(2\sin u+1)=0$ ;将每个表达式设为0。

$\sin u =0$ 或 $2\sin u +1=0$ ;求sinu的第二个方程。

$\sin u = 0$ 或 $\sin u = -\frac{1}{2}$ ;取反正弦求u(使用单位圆图或计算器)

$\frac{x}{2}=u=0, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ ;每项都乘以2来解x。

$x=0, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$ ;注意，最后两个解不在我们的范围内 $0\leq x<2\pi$ ．所以唯一的解是 x=0 ．

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例5:求三角根

求解下面的方程 $0\leq x<2\pi$ ．

$4\cos ^2x=3$

可能的答案:

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

$x=\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3};$

$x=\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$

不存在解

正确答案:

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

解释：

$4\cos ^2x=3$ ;首先，方程两边同时除以4

$\cos ^2x=\frac{3}{4}$ ;然后在两边开平方根。小心．记住，当你用平方根来解一个方程时，答案可能是正的，也可能是负的。(如果平方根已经是方程的一部分，通常只需要正的平方根。例如，的解 x^2=4 是2和-2，但如果我们把4代入函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 答案是2。)所以,

$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;我们可以把它分解成两个方程

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\cos x =- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;我们得到了

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$ 和 $x=\frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$

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例子问题6:求三角根

解的方程 $0\leq x<2\pi$ ．

$3\tan^2x=1$

可能的答案:

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$

$x=\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

$x=\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$

$x=\frac{5\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

正确答案:

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

解释：

$3\tan^2x=1$ ;两边同时除以3

$\tan^2x=\frac{1}{3}$ ;两边同时开平方根。就像前面的问题一样，当你开平方根时，答案可能是正的，也可能是负的。

$\tan x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ ;这可以写成两个独立的方程

$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 和 $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ ;求反切

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}$ 和 $x=\frac{5\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

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示例问题7:求三角根

求解下面的方程 $0\leq x<2\pi$ ．

$\tan ^2x+2\tan x+1=0$

可能的答案:

$x=\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}$

$x=\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$

$x=\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$

$x=\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$

$x=\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$

正确答案:

$x=\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$

解释：

$\tan ^2x+2\tan x+1=0$ ;该表达式类似于二次表达式，可以因式分解。

$(\tan x+1)(\tan x+1)=0$ ;将两个表达式都设为0。因为它们是相同的，解会重复，所以我只写一次。

$\tan x+1=0$

$\tan x=-1$ ;两边同时取正切

$x=\tan ^{-1}(-1)$

$x=\frac{3\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$

报告错误

例子问题1:求三角根

解下式为大于或等于严格小于．

sin(4x) = 0

可能的答案:

只有

和

正确答案:

和

解释：

回想一下的 sin(v)= 0 ．如果有用的话，可以把sin看成单位圆上的值。因此，的可接受值可能是0,180,360,540等等。然而，在我们的场景中 v = 4x ．

因此我们有 0 = 4x 和 180 = 4x ．

任何其他答案都会给我们大于90的值。当我们除以4，我们得到答案，

x=0 和 x=45 ．

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问题9:求三角根

解下面的方程。找到满足的所有解 $0\leq x <2\pi$ ．

$2\sin x = 1$

可能的答案:

$x=\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$

$x=\frac{\pi}{6}$

没有解决方案

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}$

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$

正确答案:

$x=\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}$

解释：

$2\sin x=1$ ;两边同时除以2得到

$\sin x=\frac{1}{2}$ ;两边同时取反正弦

$\sin^{-1}(\sin x)=\sin ^{-1}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)$ ;左边化简为x，所以

$x=\sin ^{-1}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)$

此时，可以使用单位圆图或计算器来求值。

请记住，这个问题要求之间的所有解和 $2\pi$ ．

如果你用计算器，你只会得到 $\frac{\pi}{6}$ 作为答案。

所以我们需要找到另一个满足方程的角 $\sin x=\frac{1}{2}$ ．
Problem_1_set_1

报告错误

例子问题10:求三角根

解下面的方程。找到满足的所有解 $0\leq x<2\pi$ ．

$\sin 2x=4\cos x$

可能的答案:

$x=\frac{\pi}{2}$

$x=\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$

不存在解

$x=0;\pi$

x=0

正确答案:

$x=\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$

解释：

$\sin 2x=4\cos x$ ;首先用对角恒等式 $\sin 2x$ ．

$2\sin x \cos x = 4\cos x$ ;两边同时除以2

$\sin x \cos x=2\cos x$ ;减去 $2\cos x$ 从双方

$\sin x \cos x-2\cos x=0$ ;提出因式 $\cos x$

$\cos x(\sin x-2)=0$ ;现在我们有两个表达式的乘积是0。只有当一个(或两个)表达式等于0时才会发生这种情况。让每个表达式都等于0。

$\cos x= 0$ 或 $\sin x-2=0$ ;

$\cos x = 0$ 或 $\sin x=2$ ;对每个表达式求每个函数的逆。

$x=\cos ^{-1}(0)$ 或 $x=\sin ^{-1}(2)$ ;第二个方程是不可能的，所以没有解，但第一个方程告诉我们:

$x=\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$

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