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三角学:三角方程

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例子问题

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例子问题1:建立三角方程

三角形有边，，的长度，，分别。每条边的对角叫做，，,分别。哪个角的正弦值，哪个角的余弦值，哪个角都会产生 $\frac{8}{17}$

在答案中，先列出sin，后列出cos。

可能的答案:

c, a

a, b

b, c

a, c

b, a

正确答案:

a, b

解释：

Screen_shot_2015-03-07_at_2.36.12_pm

这是题目中描述的图形，sin是对边比斜边cos是邻边比斜边，sin而cos会得到正确的答案。

$\sin(a)=\frac{opp}{hyp}=\frac{8}{17}$

$\cos(b)=\frac{adj}{hyp}=\frac{8}{17}$

例子问题1:建立三角方程

在定义域上解方程 0 < x < 360 (用度数回答)。

3sin(x)-2 = 1

可能的答案:

180

270

0, 360

正确答案:

解释：

代数上重新排列，

3sin(x)=3

sinx = 1 ．

在0到360度区间内，当x = 90度时sinx = 1。

例子问题3:建立三角方程

在定义域上解每个方程 0 < x < 360 (用度数回答)。

tan(x-15) = 1

可能的答案:

315, 135

45, 225

60, 150

60, 240

正确答案:

60, 240

解释：

首先，考虑角度值 tanx = 1 ．(这相当于取arctan)

$x-15=tan^{-1}(1)$

$x=tan^{-1}+15$ ．

满足这个条件的角是45度和225度。

设x-15等于这两个角，解出x，得到60和240。

例子问题1:建立三角方程

在定义域上解每个方程 0 < x < 360 (用度数回答)。

sec(x+7)-2 = 0

可能的答案:

60, 300

53, 293

23, 143

30, 150

正确答案:

53, 293

解释：

重新排列方程，

sec(x+7) = 2 ．

回想一下在0到360度区间内sec等于2的角。

分别是60度和300度。

令x+7等于这两个角，然后求出x等于53和293。

例5:建立三角方程

在区间内解每个方程 0 < x < $2\pi$

4cos^2(x) - 2 = 0

可能的答案:

$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

正确答案:

$\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

解释：

重新排列方程，

$cos^2x = \frac{1}{2}$ ．

取两边的平方，然后回忆一下角的长度，

$cos(x)={\frac{1}{\sqrt2}}$ ．

这些测量间隔 $0<x< 2 \pi$

$x=\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}$ ．

例子问题6:建立三角方程

在区间内解每个方程 $0 < x < 2\pi$

sin^2(x) - 1 = 0

可能的答案:

$\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$0, \: 2\pi$

$0, \frac{\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

解释：

重新排列方程，

sin^2x =1 ．

求两边的平方，求出对应的角

$sin(x)=\pm1$ ．

这两个角是 $\frac{\pi}{2}$ 而且 $\frac{3\pi}{2}$ ．

示例问题7:建立三角方程

解出使用三角比率。

建立三角函数1

可能的答案:

$6\sqrt2$

$\frac{1}{\sqrt2}$

$\sqrt{12}$

正确答案:

$6\sqrt2$

解释：

要求解x，首先要利用图中提供的信息建立一个三角方程。已知的两条边长分别是斜边x和对边6。我们可以这样建立方程:

$sin\left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{6}{x}$

sin $\frac{\pi}{4}$ 是 $\frac{1}{\sqrt2}$ ，所以我们可以将其替换为:

$\frac{1}{\sqrt2}=\frac{6}{x}$

交叉相乘得到 $x=6\sqrt2$ ．

例8:建立三角方程

解出使用三角比率。

建立三角函数2

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

$\frac{3}{\sqrt3}$

$3\sqrt3$

$\frac{3\sqrt3}{2}$

正确答案:

$3\sqrt3$

解释：

要求解x，首先要利用图中提供的信息建立一个三角方程。已知的两条边长分别是x，这个角的对边，和3，这个角的邻边。这意味着我们要用正切。建立这样的方程:

$tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{x}{3}$

我们不能用单位圆来求正切，但是用正弦和余弦可以很容易地求出来。tan可以计算为sin / cos。

sin $\frac{\pi}{3}$ 是 $\frac{\sqrt3}{2}$ 余弦是 $\frac{1}{2}$ ．通过除法求正切:

$tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\div \frac{1}{2}$

$tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{2}{1}$

$tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3$

现在我们可以把这个值代入我们建立的原始方程:

$\sqrt3 = \frac{x}{3}$ 两边同时乘以3

$3\sqrt3=x$

问题9:建立三角方程

解出使用三角比率。

建立三角函数4

可能的答案:

$\frac{1}{\sqrt3}$

$\frac{2}{\sqrt3}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

首先用给定的角和边建立三角比。我们知道这个角的邻边长度是1，斜边是x，所以我们用余弦:

$cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{x}$

cos $\frac{\pi}{3}$ 是 $\frac{1}{2}$ ，这就得到了我们现在的方程:

$\frac{1}{2}=\frac{1}{x}$ ．X必须等于2。

例子问题1:建立三角方程

哪个正弦函数满足下列条件?

范围的
段时间的 $2 \pi$
拦截的
$f(\pi) = -1$

可能的答案:

$f(x) = sin(\pi x)$

$f(x) = sin(\pi x + \frac{\pi}{2})$

f(x) = sin(x)

$f(x) = sin(x - \frac{\pi}{2})$

$f(x) = sin(x + \frac{\pi}{2})$

正确答案:

$f(x) = sin(x + \frac{\pi}{2})$

解释：

检验这种形式的方程:

f(x) = asin(bx + c) + d

我们可以找到，，而且使用给出的线索:

因为的振幅。．
因为中点在中间吗而且．
因为周期与标准没有变化 $2\pi$ ．
$c = \frac{\pi}{2}$ ．综合事实是而且 $f(\pi)$ (课程进行到一半)表示余弦函数可以工作-只是答案必须以正弦函数的形式给出。幸运的是，我们可以使用的移位相关的属性 $cos(x) = sin(x + \frac{\pi}{2})$ ．

总而言之，一旦我们意识到这些，我们就能看到
$f(x) = sin(x + \frac{\pi}{2})$ 符合我们的标准。

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