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SAT数学:如何找到一个二项式问题的解

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例子问题

例子问题1:其他二项式

定义一个操作 $\heartsuit$ 在实数集合上，如下所示:

说真的 m, n ，

$m \heartsuit n = \left ( m-4n\right )^{3}$

这个操作还可以如何定义呢?

可能的答案:

$m \heartsuit n = m ^{3} -12 m ^{2} n + 48mn ^{2}- 64n ^{3}$

$m \heartsuit n = m ^{3} -64n ^{3}$

$m \heartsuit n = m ^{3} -4 m ^{2} n + 16mn ^{2}- 64n ^{3}$

$m \heartsuit n = m ^{3} +4 m ^{2} n - 16mn ^{2}- 64n ^{3}$

$m \heartsuit n = m ^{3} +12 m ^{2} n - 48mn ^{2}-64n ^{3}$

正确答案:

$m \heartsuit n = m ^{3} -12 m ^{2} n + 48mn ^{2}- 64n ^{3}$

解释：

$\left ( m-4n\right )^{3}$ ，作为二项式的立方，可以用下面的模式重写:

$\left ( m-4n\right )^{3} = m ^{3} - 3 \cdot m ^{2} \cdot 4n + 3 \cdot m \cdot (4n) ^{2}- (4n) ^{3}$

应用指数规则来简化它:

$\left ( m-4n\right )^{3} = m ^{3} - 3 \cdot 4 \cdot m ^{2} \cdot n + 3 \cdot m \cdot 4 ^{2}\cdot n ^{2}- 4^{3} \cdot n ^{3}$

$\left ( m-4n\right )^{3} = m ^{3} - 3 \cdot 4 \cdot m ^{2} \cdot n + 3 \cdot 16 \cdot m\cdot n ^{2}- 4^{3} \cdot n ^{3}$

$\left ( m-4n\right )^{3} = m ^{3} -12 m ^{2} n + 48mn ^{2}- 64n ^{3}$

因此，正确的选择是，换句话说，

$m \heartsuit n = m ^{3} -12 m ^{2} n + 48mn ^{2}- 64n ^{3}$ ．

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