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SAT II数学II:体积

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例子问题

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问题1:三维几何

一立方米等于一千升。

一个圆形的游泳池是米直径和深达几米。它能装多少升水?

可能的答案:

$500\pi df$

$500 \pi d^{2}f$

$1,000\pi d^{2}f$

$1,000\pi df$

$250\pi d^{2}f$

正确答案:

$250\pi d^{2}f$

解释：

游泳池可以被看作是一个具有深度(或高度)的圆柱体。 h= f 直径的底座然后，半径是这个的一半，或者 $\frac{d}{2}$ 。这个池子的容积以立方米计是

$V = \pi r^{2}h = \pi \left ( \frac{d}{2} \right )^{2} \cdot f = \pi \cdot \frac{d^{2}}{4} \cdot f = \frac{ \pi d^{2}f}{4}$

将这个立方米数乘以每立方米1000升:

$V = \frac{ \pi d^{2}f}{4} \cdot \1,000 = 250\pi d^{2}f$

问题2:三维几何

水箱的形状是一个球体外半径16英尺;整个水箱有三英寸厚。以最接近的一百为单位，给出水箱内部的表面积，以平方英尺为单位。

可能的答案:

$3,000 \textrm{ ft}^{2}$

$16,400 \textrm{ ft}^{2}$

$15,600 \textrm{ ft}^{2}$

$17,100 \textrm{ ft}^{2}$

$3,100 \textrm{ ft}^{2}$

正确答案:

$3,100 \textrm{ ft}^{2}$

解释：

3英寸等于0.25英尺，所以半径室内水箱的大小是

16 - 0.25 = 15.75 的脚。

罐体内部的表面积可以用公式计算

$SA = 4 \pi r^{2}$

$SA \approx 4 \cdot 3.14 \cdot 15.75 ^{2} \approx 3,116$ ，

面积约为3100平方英尺。

问题81:几何

水箱的形状是一个封闭的矩形棱柱，它的棱柱外高30英尺，长20英尺，宽15英尺。整个墙有一英尺厚。这个水箱能装多少立方英尺的水?

可能的答案:

$7,714\textup{ ft}^{3}$

$10,416\textup{ ft}^{3}$

$2,446\textup{ ft}^{3}$

$6,552\textup{ ft}^{3}$

$2,204\textup{ ft}^{3}$

正确答案:

$6,552\textup{ ft}^{3}$

解释：

罐体内部的高、长、宽各比罐体外部的相应尺寸小两英尺，因此罐体内部的尺寸分别为28英尺、18英尺和13英尺。将这些相乘得到体积:

$V = 28 \cdot 18 \cdot 13 = 6,552$ 立方英尺。

问题4:三维几何

圆形游泳池直径40米，深度40米米。下面哪个表达式给出了它所能容纳的水量，以立方米为单位?

可能的答案:

$80 \pi t$

$160 \pi t$

$1,600 \pi t$

$400 \pi t$

$40 \pi t$

正确答案:

$400 \pi t$

解释：

游泳池可以被看作是一个具有深度(或高度)的圆柱体。 h= t 一个直径40米的底座，半径是这个的一半，或者 r= 20 。池子的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 20^{2}\cdot t = 400 \pi t$

问题5:三维几何

一立方米等于一千升。

一个长方形的游泳池是纵深数米米宽。它的长度是十米，比它的宽度的两倍还多。这个水池能装多少升水?

可能的答案:

其他回答都不正确。

$2,000 DW^{2} + 10,000 DW$

$2,000 DW^{2} -10,000 DW$

$0.002 DW^{2} - 0.01 DW$

$0.002 DW^{2} + 0.01 DW$

正确答案:

$2,000 DW^{2} + 10,000 DW$

解释：

因为这个池子的长度比它的宽度的两倍还要长十米，它的长度为 2W + 10 。

游泳池的内部可以看作是一个长方形的棱镜，因此，它的立方英尺体积可以计算为它的长、宽、高(或深度)的乘积。这个产品是

$V = D \cdot (2W + 10) \cdot W$

$V = 2DW^{2} + 10DW$

乘以换算系数1000，它的体积单位是升

$V =1,000 \left ( 2DW^{2} + 10DW \right )$

$V = 2,000 DW^{2} + 10,000 DW$

问题6:三维几何

圆形游泳池的直径为80英尺，深度为5英尺。以千为单位，它能装多少加仑的水?

使用换算系数:1立方英尺= 7.5加仑。

可能的答案:

$5,000\textrm{ gal}$

$754,000\textrm{ gal}$

$3,000\textrm{ gal}$

$94,000\textrm{ gal}$

$188,000\textrm{ gal}$

正确答案:

$188,000\textrm{ gal}$

解释：

游泳池可以被看作是一个深(或高)5英尺的圆柱体，一个直径80英尺的基座，半径是它的一半，也就是40英尺。池子的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r ^{2} h \approx 3.14 \times 40^{2} \times 5 \approx 25,120$ 立方英尺。

一立方英尺等于7.5加仑，所以乘以:

$25,120 \times 7.5 = 188,400$ 加仑

总共是18.8万加仑。

问题7:三维几何

上图描绘了一个矩形的公寓游泳池。

池边左右各有三英尺深;最中心的虚线代表了8英尺深的那条线。从左到中心，其深度均匀增加;从中心向右，其深度均匀减小。

以立方英尺计算，这个池子能装多少水?

可能的答案:

$1,870 \textrm{ ft}^{3}$

$9,875 \textrm{ ft}^{3}$

$9,625 \textrm{ ft}^{3}$

$2,070 \textrm{ ft}^{3}$

$10,225 \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$9,625 \textrm{ ft}^{3}$

解释：

泳池可以被看作是一个五角形的棱镜，“高”35英尺，它的底部是以下形状(深度夸张):

这是两个梯形的组合，每个梯形的底分别为3英尺和8英尺，高25英尺;每个的面积是

$A = \frac{1}{2} (3+8) \cdot 25 = 137.5$ 平方英尺。

底的面积是这个的两倍，或者

$B = 137.5 \cdot 2 = 275$ 平方英尺。

棱镜的体积是它的高乘以它的底的面积，或者

$V = 275 \cdot 35 = 9,625$ 立方英尺，游泳池的容量。

问题8:三维几何

矩形棱镜的底面面积为100;右表面面积为200;后表面面积为300。如适用，请给出棱镜的体积(最接近的整单位)。

可能的答案:

2,449

4,243

3,464

6,000

1,000

正确答案:

2,449

解释：

让棱镜的尺寸是，,。

然后, LW = 100 ， LH = 200 , WH = 300 。

从第一个和最后一个方程，两边除以，我们得到

WH = 300

LW = 100

$\frac{WH}{LW} = \frac{300}{100}$

$\frac{H}{L} = 3$

与第二个方程一起，两边同时乘以:

LH = 200

$\frac{H}{L} \cdot LH = 3 \cdot 200$

$H ^{2}= 600$

两边开根号，化简，得到

$H = \sqrt{600} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{6} = 10 \sqrt{6}$

现在，代入并解出另外两个维度

LH = 200

$L \cdot 10 \sqrt{6} = 200$

$L = \frac{200}{10 \sqrt{6}} = \frac{20}{\sqrt{6}}$

WH = 300

$W \cdot 10 \sqrt{6} = 300$

$W = \frac{300}{10 \sqrt{6}} = \frac{30 }{\sqrt{6}}$

现在，将三个维度相乘得到体积:

V= LWH

$= \frac{20}{\sqrt{6}} \cdot 10 \sqrt{6} \cdot \frac{30 }{\sqrt{6}}$

$= \frac{20}{\sqrt{6}} \cdot\frac{ 10 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{30 }{\sqrt{6}}$

$= \frac{ 6,000 \sqrt{6}} {6}$

$= 1,000 \sqrt{6}$

$\approx 1,000 \cdot 2.449$

$\approx 2,449$

问题9:三维几何

盒子的宽度是它高度的三分之二，长度的五分之三。这个箱子的体积是6立方米。到最近的厘米，给出盒子的宽度。

可能的答案:

$246 \textrm{ cm}$

$134 \textrm{ cm}$

$223 \textrm{ cm}$

$201 \textrm{ cm}$

$164 \textrm{ cm}$

正确答案:

$134 \textrm{ cm}$

解释：

调用，,板条箱的长度、宽度和高度。

宽度是高度的三分之二，所以

$W = \frac{2}{3} H$ 。

同样,

$\frac{3} {2} \cdot \frac{2}{3} H = \frac{3} {2} W$

$H = \frac{3} {2} W$

宽度是长度的五分之三，所以

$W = \frac{3}{5} L$ 。

同样,

$\frac{5} {3} \cdot \frac{3}{5} L = \frac{5} {3} \cdot W$

$L = \frac{5} {3 } W$

板条箱的尺寸是， $\frac{3} {2} W$ , $\frac{5} {3 } W$ 。体积是它们的乘积:

V= LWH ，

替代:

LWH = V

$\frac{5} {3 } W \cdot W \cdot \frac{3} {2} W = V$

$\frac{5} {3 } \cdot \frac{3} {2} \cdot W \cdot W \cdot W = 6$

$\frac{5} {2} \cdot W ^{3}= 6$

$\frac{2} {5} \cdot \frac{5} {2} \cdot W ^{3}= \frac{2} {5} \cdot 6$

$W ^{3}= \frac{12} {5}$

两边取立方根:

$W =\sqrt[3]{ \frac{12} {5}}$

$W \approx 1.339$ 米。

因为1米等于100厘米，所以乘以100换算成厘米:

$1.339 \cdot 100 = 133.9$ 厘米,

也就是134厘米。

问题10:三维几何

上图中矩形棱镜的阴影面是正方形。棱镜的体积是;给予…的价值就…而言。

可能的答案:

$x =\frac{ \sqrt{V}}{5}$

$x =\frac{ \sqrt{V}}{25}$

$x =\frac{ V}{25}$

$x =\frac{ \sqrt{V}}{625}$

$x =\frac{ V}{625}$

正确答案:

$x =\frac{ \sqrt{V}}{5}$

解释：

矩形棱镜的体积是它的长度、宽度和高度的乘积;也就是说,

LWH = V

由于棱镜的阴影面是一个正方形，我们可以设置 L = H = x , W = 25 ;代入并求解：

$x \cdot 25 \cdot x = V$

$25x^{2} = V$

$\frac{25x^{2}}{25} = \frac{V}{25}$

$x^{2} = \frac{V}{25}$

两边取正平方根，用根号商法则化简右边的表达式:

$x =\sqrt{ \frac{V}{25}} = \frac{\sqrt{V}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{V}}{5}$

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