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数学二:三维几何

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例子问题

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例子问题1:体积

一立方米等于一千升。

一个圆形的游泳池米直径和深达数米。它能装多少升水?

可能的答案:

$500 \pi d^{2}f$

$250\pi d^{2}f$

$1,000\pi d^{2}f$

$1,000\pi df$

$500\pi df$

正确答案:

$250\pi d^{2}f$

解释：

这个池子可以被看作是一个有深度(或高度)的圆柱体。 h= f ，以及直径的底座-然后，半径是这个的一半，或者 $\frac{d}{2}$ ．水池的体积以立方米为单位是

$V = \pi r^{2}h = \pi \left ( \frac{d}{2} \right )^{2} \cdot f = \pi \cdot \frac{d^{2}}{4} \cdot f = \frac{ \pi d^{2}f}{4}$

将这个立方米数乘以1000升/立方米:

$V = \frac{ \pi d^{2}f}{4} \cdot \1,000 = 250\pi d^{2}f$

例子问题2:体积

水箱呈球形外半径16英尺;这个水箱总共有三英寸厚。以最接近的百为单位，给出水箱内部的表面积，单位为平方英尺。

可能的答案:

$17,100 \textrm{ ft}^{2}$

$3,000 \textrm{ ft}^{2}$

$15,600 \textrm{ ft}^{2}$

$3,100 \textrm{ ft}^{2}$

$16,400 \textrm{ ft}^{2}$

正确答案:

$3,100 \textrm{ ft}^{2}$

解释：

3英寸等于0.25英尺，所以半径室内容器的大小是

16 - 0.25 = 15.75 的脚。

罐体内部的表面积可以用公式计算

$SA = 4 \pi r^{2}$

$SA \approx 4 \cdot 3.14 \cdot 15.75 ^{2} \approx 3,116$ ，

也就是3100平方英尺

例子问题3:体积

水箱的形状是一个封闭的矩形棱镜外高30英尺，长20英尺，宽15英尺。它的墙壁有一英尺厚。这个水箱能装多少立方英尺的水?

可能的答案:

$2,446\textup{ ft}^{3}$

$7,714\textup{ ft}^{3}$

$6,552\textup{ ft}^{3}$

$2,204\textup{ ft}^{3}$

$10,416\textup{ ft}^{3}$

正确答案:

$6,552\textup{ ft}^{3}$

解释：

内部容器的高、长、宽都比外部容器的相应尺寸小2英尺，因此内部容器的尺寸分别为28英尺、18英尺和13英尺。将它们相乘得到体积:

$V = 28 \cdot 18 \cdot 13 = 6,552$ 立方英尺。

例子问题1:体积

一个直径40米深的圆形游泳池米。下面哪个表达式给出了它所含的水量，单位是立方米?

可能的答案:

$1,600 \pi t$

$80 \pi t$

$160 \pi t$

$400 \pi t$

$40 \pi t$

正确答案:

$400 \pi t$

解释：

这个池子可以被看作是一个有深度(或高度)的圆柱体。 h= t ，和一个直径40米的底座，半径是这个的一半，或者 r= 20 ．池的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r^{2}h = \pi \cdot 20^{2}\cdot t = 400 \pi t$

例5:体积

一立方米等于一千升。

一个长方形的游泳池深达数米米宽。它的长度比宽度的两倍大十米。这个池子能装多少升水?

可能的答案:

$0.002 DW^{2} + 0.01 DW$

$0.002 DW^{2} - 0.01 DW$

其他答案都不正确。

$2,000 DW^{2} -10,000 DW$

$2,000 DW^{2} + 10,000 DW$

正确答案:

$2,000 DW^{2} + 10,000 DW$

解释：

因为水池的长度比宽度的两倍还长十米，其长度为 2W + 10 ．

池的内部可以被看作是一个矩形的棱镜，因此，它的体积(立方英尺)可以计算为它的长、宽和高(或深度)的乘积。这个产品是

$V = D \cdot (2W + 10) \cdot W$

$V = 2DW^{2} + 10DW$

乘以换算系数1000，它的体积(升)是

$V =1,000 \left ( 2DW^{2} + 10DW \right )$

$V = 2,000 DW^{2} + 10,000 DW$

例子问题1:体积

圆形游泳池直径80英尺，深度5英尺。它能容纳多少加仑的水?

使用换算系数:一立方英尺= 7.5加仑。

可能的答案:

$188,000\textrm{ gal}$

$754,000\textrm{ gal}$

$5,000\textrm{ gal}$

$94,000\textrm{ gal}$

$3,000\textrm{ gal}$

正确答案:

$188,000\textrm{ gal}$

解释：

泳池可以被看作是一个5英尺深(或高)的圆柱体，底部直径80英尺，半径是它的一半，或40英尺。池的容量就是这个圆柱体的体积，也就是

$V = \pi r ^{2} h \approx 3.14 \times 40^{2} \times 5 \approx 25,120$ 立方英尺。

一立方英尺等于7.5加仑，所以乘以:

$25,120 \times 7.5 = 188,400$ 加仑

总共是18.8万加仑。

例子问题1:体积

上图描绘了一个公寓的长方形游泳池。

在左右两边，水池有三英尺深;中间的虚线表示这条线有8英尺深。从左到中，深度均匀增大;从中心向右，深度均匀减小。

以立方英尺计算，这个池子能装多少水?

可能的答案:

$1,870 \textrm{ ft}^{3}$

$10,225 \textrm{ ft}^{3}$

$2,070 \textrm{ ft}^{3}$

$9,625 \textrm{ ft}^{3}$

$9,875 \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$9,625 \textrm{ ft}^{3}$

解释：

泳池可以被看作是一个“高”35英尺的五角形棱镜，它的底部是以下形状(深度被夸大了):

这是一个复合的两个梯形，每个底3英尺和8英尺，高25英尺;每个的面积是

$A = \frac{1}{2} (3+8) \cdot 25 = 137.5$ 平方英尺。

底的面积是这个的两倍，或者

$B = 137.5 \cdot 2 = 275$ 平方英尺。

棱镜的体积是它的高度乘以它的底的面积，或者

$V = 275 \cdot 35 = 9,625$ 立方英尺，水池的容量。

例8:体积

矩形棱镜的底面面积为100;右侧曲面面积为200;后表面面积为300。如果适用，请给出棱镜的体积(最接近的整体单位)。

可能的答案:

1,000

3,464

4,243

2,449

6,000

正确答案:

2,449

解释：

让棱镜的尺寸是，,．

然后, LW = 100 ， LH = 200 , WH = 300 ．

从第一个和最后一个方程，两边除，我们得到

WH = 300

LW = 100

$\frac{WH}{LW} = \frac{300}{100}$

$\frac{H}{L} = 3$

与第二个方程一起，两边乘以:

LH = 200

$\frac{H}{L} \cdot LH = 3 \cdot 200$

$H ^{2}= 600$

两边取平方根，化简，得到

$H = \sqrt{600} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{6} = 10 \sqrt{6}$

现在，代入并求解另外两个维度:

LH = 200

$L \cdot 10 \sqrt{6} = 200$

$L = \frac{200}{10 \sqrt{6}} = \frac{20}{\sqrt{6}}$

WH = 300

$W \cdot 10 \sqrt{6} = 300$

$W = \frac{300}{10 \sqrt{6}} = \frac{30 }{\sqrt{6}}$

现在，将三个维度相乘，得到体积:

V= LWH

$= \frac{20}{\sqrt{6}} \cdot 10 \sqrt{6} \cdot \frac{30 }{\sqrt{6}}$

$= \frac{20}{\sqrt{6}} \cdot\frac{ 10 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{30 }{\sqrt{6}}$

$= \frac{ 6,000 \sqrt{6}} {6}$

$= 1,000 \sqrt{6}$

$\approx 1,000 \cdot 2.449$

$\approx 2,449$

问题9:体积

一个盒子的宽度是它的三分之二高，五分之三长。这个盒子的体积是6立方米。到最近的地方厘米，给出盒子的宽度。

可能的答案:

$201 \textrm{ cm}$

$164 \textrm{ cm}$

$246 \textrm{ cm}$

$134 \textrm{ cm}$

$223 \textrm{ cm}$

正确答案:

$134 \textrm{ cm}$

解释：

调用，,板条箱的长度、宽度和高度。

宽是高的三分之二，所以

$W = \frac{2}{3} H$ ．

同样,

$\frac{3} {2} \cdot \frac{2}{3} H = \frac{3} {2} W$

$H = \frac{3} {2} W$

宽度是长度的五分之三，所以

$W = \frac{3}{5} L$ ．

同样,

$\frac{5} {3} \cdot \frac{3}{5} L = \frac{5} {3} \cdot W$

$L = \frac{5} {3 } W$

板条箱的尺寸是是， $\frac{3} {2} W$ , $\frac{5} {3 } W$ ．体积是它们的乘积:

V= LWH ，

替代:

LWH = V

$\frac{5} {3 } W \cdot W \cdot \frac{3} {2} W = V$

$\frac{5} {3 } \cdot \frac{3} {2} \cdot W \cdot W \cdot W = 6$

$\frac{5} {2} \cdot W ^{3}= 6$

$\frac{2} {5} \cdot \frac{5} {2} \cdot W ^{3}= \frac{2} {5} \cdot 6$

$W ^{3}= \frac{12} {5}$

两边取立方根:

$W =\sqrt[3]{ \frac{12} {5}}$

$W \approx 1.339$ 米。

因为一米由100厘米组成，所以用100来换算厘米:

$1.339 \cdot 100 = 133.9$ 厘米,

四舍五入是134厘米。

例子问题1:三维几何

上图中矩形棱镜的阴影面是正方形。棱镜的体积是；给出的值在这方面．

可能的答案:

$x =\frac{ \sqrt{V}}{625}$

$x =\frac{ \sqrt{V}}{5}$

$x =\frac{ \sqrt{V}}{25}$

$x =\frac{ V}{625}$

$x =\frac{ V}{25}$

正确答案:

$x =\frac{ \sqrt{V}}{5}$

解释：

矩形棱镜的体积是它的长、宽和高的乘积;也就是说,

LWH = V

由于棱镜的阴影面是一个正方形，我们可以设置 L = H = x , W = 25 ；代入和求解：

$x \cdot 25 \cdot x = V$

$25x^{2} = V$

$\frac{25x^{2}}{25} = \frac{V}{25}$

$x^{2} = \frac{V}{25}$

两边取正的平方根，用根号商法则化简右边的表达式:

$x =\sqrt{ \frac{V}{25}} = \frac{\sqrt{V}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{V}}{5}$

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