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SAT II数学II:面，面面积和顶点

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例子问题

例子问题1:面，面面积和顶点

一个正四面体有四个相等的面，每个面都是等边三角形。

一个正四面体的总表面积是600平方厘米。精确到十分之一厘米，每条边的长度是多少?

可能的答案:

$12.2 \textrm{ cm}$

$37.2\textrm{ cm}$

$11.9 \textrm{ cm}$

$18.6 \textrm{ cm}$

$24.5 \textrm{ cm}$

正确答案:

$18.6 \textrm{ cm}$

解释：

四面体的总表面积为600平方厘米;由于四面体由四个相等的面组成，每个面都有面积 $600 \div 4 = 150$ 平方厘米。

等边三角形的面积由公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

集 A = 150 解出：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = 150$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=1 50 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

$s^{2} = \frac{600}{ \sqrt{3}} \approx \frac{600}{1.732} \approx 346.41$

$s \approx \sqrt{346.41} \approx 18.6$ 厘米。

例子问题2:面，面面积和顶点

一个普通的八面体有八个相等的面，每个面都是等边三角形。

给定正八面体的总表面积是400平方厘米。精确到十分之一厘米，每条边的长度是多少?

可能的答案:

$10.7 \textrm{ cm}$

$21.5 \textrm{ cm}$

$23.8 \textrm{ cm}$

$11.9 \textrm{ cm}$

$14.1 \textrm{ cm}$

正确答案:

$10.7 \textrm{ cm}$

解释：

八面体的总表面积为400平方厘米;由于八面体由八个相等的面组成，每个面都有面积 $400 \div 8 = 50$ 平方厘米。

等边三角形的面积由公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

集 A = 50 解出：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = 50$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}= 50 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

$s^{2} = \frac{200}{ \sqrt{3}} \approx \frac{200}{1.732} \approx 115.47$

$s \approx \sqrt{115.47} \approx 10.7$ 厘米。

例子问题3:面，面面积和顶点

一个常规的二十面体有二十个相等的面，每个面都是等边三角形。

给定的正二十面体边长为4英寸。求二十面体的总表面积。

可能的答案:

$80 \sqrt{3} \textrm{ in}^{2}$

$40 \sqrt{3} \textrm{ in}^{2}$

$40 \sqrt{2} \textrm{ in}^{2}$

$80 \textrm{ in}^{2}$

$80 \sqrt{2} \textrm{ in}^{2}$

正确答案:

$80 \sqrt{3} \textrm{ in}^{2}$

解释：

等边三角形的面积由公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

由于二十面体的表面由二十个等边三角形组成，因此总表面积为

$SA = 20 A = 20 \cdot \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = 5 s^{2}\sqrt{3}$

替代 s = 4 ：

$SA = 5 \cdot 4^{2}\sqrt{3} = 5 \cdot 16 \sqrt{3} = 80 \sqrt{3}$ 平方英寸。

示例问题31:三维几何

有9个顶点和16条边的多面体有多少个面?

可能的答案:

正确答案:

解释：

由欧拉公式，顶点数之间的关系，面数，和边的个数多面体的

V + F - E = 2

集 V = 9 而且 E = 16 解出：

9 + F - 16 = 2

F - 7= 2

F = 9

多面体有九个面。

例5:面，面面积和顶点

一个有八个顶点和十二个面的多面体有多少条边?

可能的答案:

没有提供足够的信息来回答这个问题。

正确答案:

解释：

由欧拉公式，顶点数之间的关系，面数，和边的个数多面体的

V + F - E = 2

集 V= 8 而且 F = 12 解出：

8 + 12 - E = 2

20 - E = 2

E = 18

多面体有18条边。

例子问题6:面，面面积和顶点

一个有十个顶点和十五条边的多面体有多少个面?

可能的答案:

没有提供足够的信息来回答这个问题。

正确答案:

解释：

由欧拉公式，顶点数之间的关系，面数，和边的个数多面体的

V + F - E = 2

集 V = 10 而且 E = 15 解出：

10+ F - 15= 2

F - 5 = 2

F = 7

多面体有七个面。

例子问题1:面，面面积和顶点

一个有10个顶点和16条边的多面体有多少个面?

可能的答案:

正确答案:

解释：

由欧拉公式，顶点数之间的关系，面数，和边的个数多面体的

V + F - E = 2

集 V = 10 而且 E = 16 解出：

10+ F - 16= 2

F - 6 = 2

F = 8

多面体有八个面。

例8:面，面面积和顶点

一个有18个面和40条边的凸多面体有多少顶点?

可能的答案:

正确答案:

解释：

凸多边形的顶点、边和面的数目 V, E, F -与欧拉公式相关:

V-E + F = 2

因此,设置 F = 18, E = 40 解出：

V-40 + 18 = 2

V-22= 2

V= 24

多面体有24个面。

问题9:面，面面积和顶点

一个有14个顶点和5个面的多面体有多少条边?

可能的答案:

正确答案:

解释：

由欧拉公式，顶点数之间的关系，面数，和边的个数多面体的

V + F - E = 2 ．

集 V = 14 而且 F = 5 解出：

14+5 - E = 2

19 - E = 2

E = 17

多面体有17条边。

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