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PSAT数学:等边三角形

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例子问题

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问题1:等边三角形

下面哪个选项描述了一个边长为1米、100厘米和10分米的三角形?

可能的答案:

三角形不可能存在。

这个三角形不等边，而且是对的。

这个三角形是不等边和锐角的。

这个三角形不等边且是钝角的。

这个三角形是等边锐角三角形。

正确答案:

这个三角形是等边锐角三角形。

解释：

1米，100厘米，10分米都等于相同的量。这使得三角形是等边的，然后是锐角的。

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问题1:等边三角形

两个三角形的面积相等。一个是等边三角形。另一个是直角三角形，斜边为12，边长为8。给出等边三角形的边长的最接近十分之一。

可能的答案:

27.2

10.1

10.5

12.9

9.1

正确答案:

9.1

解释：

斜边为12、边为8的直角三角形也有边

$a = \sqrt{12^{2}-8^{2}} = \sqrt{144-64} = \sqrt{80} \approx 8.944$

直角三角形的面积是它两条腿乘积的一半，所以这个直角三角形的面积

$A \approx \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8.944 \approx 35.777$ ，

也就是给定等边三角形的面积。

等边三角形的面积由这个公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

如果我们设置 $A \approx 35.777$ ，我们可以解出来：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \approx35.777$

$s^{2} \approx35.777 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 35.777 \cdot \frac{4}{1.732} \approx82.623$

$s \approx \sqrt{82.623} \approx 9.090$

正确的选择是9.1。

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问题3:如何求一个等边三角形的边长

等边三角形的面积和周长为100的圆的面积相等。给出三角形的边长，取最接近十分之一的数。

可能的答案:

60.6

42.9

47.4

67.1

269.4

正确答案:

42.9

解释：

周长为100的圆有半径

$r = \frac{C}{2 \pi} = \frac{100 }{2 \pi} = \frac{50}{\pi}$

它的面积是

$A = \pi r^{2}$

$A = \pi \cdot \left ( \frac{50}{\pi} \right )^{2}$

$A = \pi \cdot \frac{2,500}{\pi ^{2}}$

$A = \frac{2,500}{\pi }$

我们可以把它代入在等边三角形的面积方程中，求出：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} =A$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{2,500}{\pi}$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2,500}{\pi} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

$s^{2} = \frac{2,500}{\pi} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \approx \frac{10,000}{3.14159\cdot 1.732} \approx 1,837.76$

$s \approx \sqrt{1,837.76} \approx 42.9$

正确的答案是42.9。

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问题4:如何求一个等边三角形的边长

两个三角形的面积相等。一个是等边三角形。另一个是有斜边的等腰直角三角形．给出等边三角形的边长．

可能的答案:

$\frac{ x} { \sqrt{2}}$

$\frac{x}{3}$

$\frac{ x} { \sqrt{3}}$

$\frac{ x} { \sqrt[4]{3}}$

$\frac{ x} { \sqrt[4]{2}}$

正确答案:

$\frac{ x} { \sqrt[4]{3}}$

解释：

等腰直角三角形也是a $45^{\circ } - 45^{\circ } - 90^{\circ }$ 三角形的每条边都是斜边的长度除以 $\sqrt{2}$ ．因此，由于斜边的长度，每条腿的尺寸 $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ．

直角三角形的面积是它两条腿乘积的一半，所以这个直角三角形的面积

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{x^{2}}{4}$

等边三角形的面积由这个公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$ ，

所以设置 $A = \frac{x^{2}}{4}$ 和解决：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{x^{2}}{4}$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4} { \sqrt{3}}= \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{4} { \sqrt{3}}$

$s^{2} = \frac{x^{2}} { \sqrt{3}}$

$s =\sqrt{ \frac{x^{2}} { \sqrt{3}}}$

$s =\frac{ x} { \sqrt[4]{3}}$

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问题5:如何求一个等边三角形的边长

两个三角形的面积相等。一个是等边三角形。另一个是 $30^{\circ }- 60^{\circ }-90^{\circ }$ 有斜边的直角三角形．给出等边三角形的边长．

可能的答案:

$\frac{x\sqrt{6} }{2}$

$\frac{x\sqrt{2} }{2}$

$\frac{x\sqrt{3} }{3}$

$\frac{x }{2}$

$\frac{x }{3}$

正确答案:

$\frac{x\sqrt{2} }{2}$

解释：

一个 $30^{\circ }- 60^{\circ }-90^{\circ }$ 直角三角形有一条短的边是它的斜边的一半长,这是 $\frac{x}{2}$ ．它的长腿是 $\sqrt{3}$ 比它的短腿长一倍，这将是 $\frac{x\sqrt{3}}{2}$ ．它的面积是两条腿乘积的一半，所以面积是

$A = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{8}$

等边三角形的面积由这个公式给出

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$ ，

所以设置 $A = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{8}$ 和解决：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{8}$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4} {\sqrt{3}} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{4} {\sqrt{3}}$

$s^{2} = \frac{x^{2} }{2}$

$s =\sqrt{ \frac{x^{2} }{2}}$

$s = \frac{x }{\sqrt{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$

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问题6:如何求一个等边三角形的边长

正方形和等边三角形的面积相等。算出正方形的边长．给出等边三角形的边长．

可能的答案:

$\frac{ 2x}{ \sqrt{3}}$

$\frac{ 2x}{ \sqrt[4]{3}}$

$\frac{ 4x}{ \sqrt[4]{3}}$

$\frac{ 4x}{ \sqrt{3}}$

$2x \sqrt{3}$

正确答案:

$\frac{ 2x}{ \sqrt[4]{3}}$

解释：

正方形的面积是 A=s^2 在哪里表示边长。在这种情况下，边长是因此，正方形的面积是 $x^{2}$ ；这也是等边三角形的面积。

等边三角形面积的公式是

$A = \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4}$

如果我们让 $A = x^{2}$ ，我们可以解出来在方程:

$\frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} = x^{2}$

$s^{2} =\frac{ 4 x^{2}}{ \sqrt{3}}$

$s =\sqrt{\frac{ 4 x^{2}}{ \sqrt{3}}}$

$s = \frac{ \sqrt{4 x^{2}}}{ \sqrt{\sqrt{3}}}$

$s =\frac{ 2x}{ \sqrt[4]{3}}$

这是正确的反应。

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问题2:如何求一个等边三角形的边长

正六边形和等边三角形的面积相等。称之为六边形的边长．给出等边三角形的边长．

可能的答案:

$x\sqrt{3}$

$x\sqrt{6}$

正确答案:

$x\sqrt{6}$

解释：

正六边形的三个直径可以分成六个相等的等边三角形。因为每个三角形都有边长，每一个的面积等于

$A' = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}$

乘以6得到六边形的面积:

$A = 6A' = 6 \cdot \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{3x^{2}\sqrt{3}}{2}$

我们可以把它代入在等边三角形的面积方程中，求出：

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} =A$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} =\frac{3x^{2}\sqrt{3}}{2}$

$\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} =\frac{3x^{2}\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

$s^{2}= 6x^{2}$

$s = \sqrt{6x^{2}} = x\sqrt{6}$ ，正确的回应。

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问题1:如何求等边三角形的面积

正方形ABCD的面积比等边三角形EFG的周长大50%。如果正方形ABCD的面积等于45，那么EFG的面积是多少?

可能的答案:

30.

25个√3

50√3

正确答案:

25个√3

解释：

如果ABCD的面积等于45，那么EFG的周长等于x * 1.5 = 45。45 / 1.5 = 30，所以EFG的周长等于30。这意味着每条边都等于10。

等边三角形EFG的高度创建了两个30-60-90的三角形，每个三角形的斜边为10，短边为5。我们知道30-60-90三角形的长边(EFG的高)等于√3乘以短边，也就是5√3。

然后应用三角形面积的公式，1/2 * b * h，得到1/2 * 10 * 5√3 = 5 * 5√3 =25个√3.．

一般来说，等边三角形的高等于√3 / 2乘以等边三角形的一条边。等边三角形的面积等于1/2 *√3s/ 2 * s =√3s²/ 4。

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问题1:如何求等边三角形的面积

一个边长为12厘米的等边三角形的面积是多少?

可能的答案:

18√3

12√2

36个√3

54√2

72√3

正确答案:

36个√3

解释：

等边三角形有三条相等的边，因而有三个相等的角。这个图形产生了两个背靠背的特殊直角三角形:x - x√3 - 2x的边长为30°- 60°- 90°。三角形的高是x√3边。所以一个_三角形= 1/2 bh = 1/2 * 12 * 6√3 = 36√3cm²．

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问题7:等边三角形

等边三角形的周长是18。它的面积是多少?

可能的答案:

$9\sqrt{3}$

$18\sqrt{3}$

$9\sqrt{2}$

正确答案:

$9\sqrt{3}$

解释：

回想一下，等边三角形也遵循等腰三角形的规则。这意味着我们的三角形可以用等高来表示，等高平分了对边和“下落”高度的角度。对于我们的三角形，这可以表示为:

6-equilateral

现在，虽然我们还不知道高，但我们从30-60-90度的正三角形中知道60度角的对边是√3乘以30度角对边的长度。因此，我们知道高度是3√3。

三角形的面积是(1/2)bh。如果高是3√3，底是6，那么面积是(1/2)* 6 * 3√3 = 3 * 3√3 = 9√(3)。

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