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微积分预备:余弦函数的和与差恒等式

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例子问题

例子问题1:三角恒等式

使用和或差恒等式来查找确切的值: $cos255^\circ$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\frac{2\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\frac{-1}{2}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

解释：

使用标识符，我们可以将255分解为然后解决: $cos300\cdot cos45+sin300\cdot sin45\rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

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例子问题2:三角恒等式

下面的等式是恒等式吗? $cos(x-\pi)=cos(x)$

可能的答案:

不，它不是一个身份。

是的，这是一种身份。

这是不能从已知的信息中确定的。

正确答案:

不，它不是一个身份。

解释：

$cos(x-\pi)=cos(x)\rightarrow cosxcos\pi+sinxsin\pi=cosx\rightarrow cosx(-1)+sinx(0)=cosx\rightarrow -cosx\neq cosx$

由于这个不等式，这不是一个恒等式

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示例问题7:三角恒等式

用t用和或差恒等式求出确切的值: $\cos 255^{\circ}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\frac{2\sqrt{2}}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

解释：

使用身份，我们可以分开 255 成 300-45 然后解决: $\cos 300\cdot \cos 45+\sin 300\cdot \sin 45\rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ 所以正确答案是 $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ ．

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例子问题1:三角恒等式

下面的等式是恒等式吗?

$\cos \left ( x-\pi \right )=\cos \left ( x \right )$

可能的答案:

不，它不是一个身份

从所提供的信息中无法确定答案。

是的，这是一种身份

正确答案:

不，它不是一个身份

解释：

$\cos \left ( x-\pi \right )=\cos \left ( x \right )\rightarrow \cos x\cos \pi +\sin x\sin \pi =\cos x\rightarrow \cos x(-1)+\sin x(0)=\cos x\rightarrow -\cos x\neq \cos x$

由于这种不平等，这不是一个恒等式。

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示例问题9:三角恒等式

用和或差恒等式求出的确切值 $\sin 165^{\circ}$ ．

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}}4{}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

解释：

这里我们把 165 成 135+30 用sin恒等式来求解 $\sin 135\cdot \cos 30+\cos 135\cdot \sin 30\rightarrow \frac{\sqrt{2}}2{}\cdot \frac{\sqrt{3}}2{}+\frac{-\sqrt{2}}2{}\cdot \frac{1}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 这里的答案是 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．

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