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微积分预备:三角恒等式

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例子问题

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例子问题1:三角恒等式

根据三角恒等式， 1+cot^2(x)=?

可能的答案:

$\frac{1}{tan(x)}$

tan(x)

$\frac{sin(x)}{cos(x)}$

csc^2(x)

正确答案:

csc^2(x)

解释：

三角恒等式 1+cot^2(x)=csc^2(x) ，是一个重要的恒等式，需要记住。

其他一些重要的身份是:

$\frac{sin(x)}{cos(x)}=tan(x)$

$cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$

sin^2(x)+cos^2(x)=1

报告错误

例子问题2:三角恒等式

使用和或差恒等式来找到准确的值: $sin165^\circ$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

解释：

这里我们把165分成 135+30 用sin恒等式来解: $sin135\cdot cos30+cos135\cdot sin30\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

报告错误

例子问题1:和与差恒等式

下面的方程是恒等式吗? $sin(x-\pi)=sin(x)$

可能的答案:

不，它不是一个身份。

从给定的信息无法确定。

是的，它是一种身份。

正确答案:

不，它不是一个身份。

解释：

$sin(x-\pi)=sinx\rightarrow sinxcos\pi-cosxsin\pi=sinx\rightarrow sinx\cdot (-1)-cosx\cdot (0)\rightarrow -sinx-0=sinx\rightarrow -sinx\neq sinx$

所以这也不是恒等式

报告错误

例子问题1:和与差恒等式

是下面的等式是恒等式吗? $\sin \left ( x-\pi \right )=\sin \left ( x \right )$ ?

可能的答案:

不，它不是一个身份

根据所提供的信息无法回答这个问题。

是的，它是一种身份

正确答案:

不，它不是一个身份

解释：

$\sin \left ( x-\pi \right )=\sin x\rightarrow \sin x\cos \pi -\cos x\sin \pi = \sin x\rightarrow \sin x\cdot \left ( -1 \right )-\cos x\cdot \left ( 0 \right )\rightarrow -\sin x-0=\sin x\neq \sin x$

因此，这不是恒等式。

报告错误

例子问题1:三角恒等式

使用和或差恒等式来找到准确的值: $cos255^\circ$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\frac{2\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\frac{-1}{2}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

解释：

使用标识符，我们可以将255分解为然后求解: $cos300\cdot cos45+sin300\cdot sin45\rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

报告错误

例子问题2:三角恒等式

下面的方程是恒等式吗? $cos(x-\pi)=cos(x)$

可能的答案:

不，它不是一个身份。

是的，它是一种身份。

从给定的信息无法确定。

正确答案:

不，它不是一个身份。

解释：

$cos(x-\pi)=cos(x)\rightarrow cosxcos\pi+sinxsin\pi=cosx\rightarrow cosx(-1)+sinx(0)=cosx\rightarrow -cosx\neq cosx$

由于这个不等式，这不是恒等式

报告错误

示例问题7:三角恒等式

用t求精确值的和或差恒等式: $\cos 255^{\circ}$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\frac{2\sqrt{2}}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

解释：

使用恒等式，我们可以分解 255 成 300-45 然后求解: $\cos 300\cdot \cos 45+\sin 300\cdot \sin 45\rightarrow \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ 所以正确答案是 $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ ．

报告错误

例子问题1:三角恒等式

下面的方程是恒等式吗?

$\cos \left ( x-\pi \right )=\cos \left ( x \right )$

可能的答案:

不，它不是一个身份

从提供的信息中无法确定答案。

是的，它是一种身份

正确答案:

不，它不是一个身份

解释：

$\cos \left ( x-\pi \right )=\cos \left ( x \right )\rightarrow \cos x\cos \pi +\sin x\sin \pi =\cos x\rightarrow \cos x(-1)+\sin x(0)=\cos x\rightarrow -\cos x\neq \cos x$

由于这个不等式，这不是一个恒等式。

报告错误

问题9:三角恒等式

使用和恒等式或差恒等式来求的准确值 $\sin 165^{\circ}$ ．

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

$\frac{\sqrt{6}}4{}$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

解释：

这里我们把 165 成 135+30 用sin恒等式来解: $\sin 135\cdot \cos 30+\cos 135\cdot \sin 30\rightarrow \frac{\sqrt{2}}2{}\cdot \frac{\sqrt{3}}2{}+\frac{-\sqrt{2}}2{}\cdot \frac{1}{2}\rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ 所以这里的答案是 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．

报告错误

例子问题10:三角恒等式

用三角恒等式解下式 $\theta$ ：

$tan^2\theta + sec^2\theta = 1$

可能的答案:

$\theta = \pi/3+ n$

$\theta = \pi/4+ n\pi$

$\theta = \pi/3+ n$

$\theta= n\pi$

$\theta = \pi/2+ n\pi$

正确答案:

$\theta= n\pi$

解释：

用三角恒等式把sec转换成tan:

$tan^2\theta + sec^2\theta = tan^2\theta + (tan^2 \theta + 1) = 2tan^2\theta + 1 = 1$

因此,

$2tan^2\theta = 0$

所以我们有 $\tan \theta = 0$ ,使 $\theta= n \pi$

因此解是 $\theta = n \pi$ n是任意整数。

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