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微积分预备:用二次形式解三角方程和不等式

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例子问题

例子问题1:解三角方程和不等式

如果 $\theta$ 在域中存在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ，解决以下问题: $0=1-\cos^2\theta$

可能的答案:

$0,\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$0,\pi$

$\textup{No solution.}$

正确答案:

解释：

因式分解 $0=1-cos^2\theta$ ．

$1-cos^2\theta= (1+cos(\theta))(1-cos(\theta))$

令两项都等于零并求解。

$1+cos(\theta)=0$

$cos(\theta)=-1$

$\theta=\pi$

对象中没有此值 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 域。

$1-cos(\theta)=0$

$cos(\theta)=1$

$\theta=0$

中唯一正确的值 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 域。

例子问题1:解三角方程和不等式

解出 $\theta$ 在等式中 $sin^2(\theta)-2sin(\theta)+1=0$ 在间隔中 $0\leq\theta\leq2\pi$ ．

可能的答案:

$\theta=\frac{\pi}{2}$

$\theta=\frac{3\pi}{2}$

$\theta=0$

$\theta=sin^{-1}(1)$

$\theta=\frac{3\pi}{4}$

正确答案:

$\theta=\frac{\pi}{2}$

解释：

如果你代入 $x=sin(\theta)$ 你得到了一个可识别的二次方程，

(x-1)^2=0 ．

然后我们可以代入回到方程，用单位圆求出来

$\theta=\frac{\pi}{2}$ ．

例子问题1:解三角方程和不等式

已知存在于 $[0,2\pi]$ 解决: $2cos^2\theta=cos(\theta)$

可能的答案:

$\textup{None of the given answers.}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$

正确答案:

$\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}$

解释：

为了解决 $2cos^2\theta=cos(\theta)$ 适当地，不要分割 $cos(\theta)$ 两边都是。这个效应消去了这个三角函数的一个根。

减 $cos(\theta)$ 双方都有。

$2cos^2\theta-cos(\theta)=0$

把方程左边因式分解。

$cos(\theta)[2cos(\theta)-1]=0$

令每一项都等于0，并在限制条件下解出 $[0,2\pi]$ ．

$cos(\theta)=0$

$\theta = \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$

$2cos(\theta)-1=0$

$2cos(\theta)=1$

$cos(\theta)=\frac{1}{2}$

$\theta= \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

正确答案是:

$\theta=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

例子问题2:解三角方程和不等式

解决 $\sin^2(x) + 4 = 0$ 为 $0^{\circ}\leq x\leq 360^{\circ}$

可能的答案:

$x = 90^{\circ}$

x = -2, x = 2

x = 0

没有解决办法。

正确答案:

没有解决办法。

解释：

通过减去从原方程两边，我们得到 $\sin^2(x) = -4$ ．我们知道三角恒等式的平方不可能是负的，不管输入是什么，所以不可能有解。

例子问题1:用二次形式求解三角方程和不等式

解决 $\sin^2(x)-4 = 0$ 当 $0^{\circ}\leq x \leq 360^{\circ}$

可能的答案:

x=2, x=-2

没有解决办法。

$x = 45^{\circ}$

x= 0

正确答案:

没有解决办法。

解释：

鉴于此，对于任何输入， $-1\leq \sin(x) \leq1$ ，我们知道 $-1\leq\sin^2(x)\leq1$ ，方程也是如此 $\sin^2(x)=4$ 可以没有解。

例子问题2:用二次形式求解三角方程和不等式

解决 $\sin^2(x)-1 =0$ 当 $0^{\circ}\leq x \leq 360^{\circ}$

可能的答案:

$x = 90^{\circ}, x=270^{\circ}$

没有解决办法。

$x = 0^{\circ}$

$x = 90^{\circ}$

正确答案:

$x = 90^{\circ}, x=270^{\circ}$

解释：

原方程两边同时加1，得到 $\sin^2(x) = 1$ ，两边同时开根号，就得到 $\sin(x) = 1, \sin(x) = -1.$ 由此，我们得到，在给定的区间上，唯一的解是 $x = 90^{\circ}$ 而且 $x = 270^{\circ}$ ．

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